📝 题目
例 5 设 $f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty$ . 求证: $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 内取到它的最小值.
思路 对任意的有限区间 $\left\lbrack {A,B}\right\rbrack ,f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上的最小值一定是 $\left\lbrack {A,B}\right\rbrack$ 上的最小值,反过来显然是不一定对的. 但是能否适当选取 $A,B$ ,使得 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {A,B}\right\rbrack$ 上的最小值也是在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上的最小值呢? 为此,只需在 $\left\lbrack {A,B}\right\rbrack$ 上含有这样一个点 ${x}_{0}$ ,使得
$$ f\left( x\right) > f\left( {x}_{0}\right) \;\left( {\forall x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) \smallsetminus \left\lbrack {A,B}\right\rbrack }\right) . $$
💡 答案与解析
证 因为 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = + \infty$ ,所以
$$ \exists A < 0\text{ ,当 }x < A\text{ 时,有 }f\left( x\right) > f\left( 0\right) \text{ ; } \tag{5.4} $$
因为 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty$ ,所以
$$ \exists B > 0\text{ ,当 }x > B\text{ 时,有 }f\left( x\right) > f\left( 0\right) \text{ . } \tag{5.5} $$
显然,由 (5.4),(5.5)式有
$$ \mathop{\min }\limits_{{x \in \left\lbrack {A,B}\right\rbrack }}f\left( x\right) \leq f\left( 0\right) < f\left( x\right) ,\;\forall x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) \smallsetminus \left\lbrack {A,B}\right\rbrack . $$
(5.6)
设 ${x}_{m} \in \left\lbrack {A,B}\right\rbrack$ ,使得 $f\left( {x}_{m}\right) = \mathop{\min }\limits_{{x \in \left\lbrack {A,B}\right\rbrack }}f\left( x\right)$ ,根据 (5.6) 式,则有
$$ f\left( {x}_{m}\right) = \mathop{\min }\limits_{{x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }}f\left( x\right) . $$