📝 题目
例 6 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,对于区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 中的每一个点 $x$ , 总存在 $y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得 $\left| {f\left( y\right) }\right| \leq \frac{1}{2}\left| {f\left( x\right) }\right|$ . 求证: 至少存在一点 $\xi \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得 $f\left( \xi \right) = 0$ .
💡 答案与解析
证 用反证法. 如果函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上没有零点,那么函数 $\left| {f\left( x\right) }\right|$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上也没有零点. 因为 $\left| {f\left( x\right) }\right|$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,所以 $\left| {f\left( x\right) }\right| > 0$ . 根据闭区间连续函数的性质,必存在最小值,即存在点 $\xi \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得
$$ \left| {f\left( \xi \right) }\right| = \mathop{\min }\limits_{{a \leq x \leq b}}\{ \left| {f\left( x\right) }\right| \} > 0. $$
由题设条件知,在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 内存在 $y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得
$$ \left| {f\left( y\right) }\right| \leq \frac{1}{2}\left| {f\left( \xi \right) }\right| < \left| {f\left( \xi \right) }\right| . $$
这与 $\left| {f\left( \xi \right) }\right|$ 是最小值相矛盾,所以函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上至少有一个零点.