📝 题目
例 7 设 $f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( x\right) }\right) = \infty$ . 求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = \infty \text{ . } $$
💡 答案与解析
证 用反证法. 假设结论不成立. 那么 $\exists A > 0$ ,对于 $\forall X$ , $\exists x$ , $\left| x\right| > X$ ,使得 $\left| {f\left( x\right) }\right| \leq A$ . 取 $X = 1,2,\cdots$ ,相应产生序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ ,满足
$$ \left| {x}_{n}\right| > n,\;\left| {f\left( {x}_{n}\right) }\right| \leq A\;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) . $$
又由于 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {-A,A}\right\rbrack$ ,推知 $\exists M > 0$ ,使得
$$ \left| {f\left( {f\left( x\right) }\right) }\right| \leq M,\;\forall x \in \left\lbrack {-A,A}\right\rbrack . $$
于是 $\left| {f\left( {f\left( {x}_{n}\right) }\right) }\right| \leq M$ . 但是由 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( x\right) }\right) = \infty$ 推出 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( {x}_{n}\right) }\right) =$ $\displaystyle{\infty}$ ,即得矛盾. 故反证法假设不成立,即结论成立.
提问 如下证明, 你认为对吗? 也是用反证法. 假设结论不成立,
那么 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) \neq \infty$ ,从而
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = A\text{ (有限数) } \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( x\right) }\right) = f\left( A\right) , $$
这与 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( x\right) }\right) = \infty$ 矛盾,结论得证.
解答 这个证明是错误的, 因为它把结论的反面叙述搞错了. 事实上, $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = \infty$ 的反面有如下两种可能: ① 广义极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right)$ 不存在; ② 广义极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right)$ 存在,但是极限值是有限数 $A$ . 上述证明中, 反面叙述的错误就在于遗漏了可能性①.