📝 题目
例 10 设 $f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,且
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = A,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = B. $$
求证: $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上一致连续.
💡 答案与解析
证 $\forall \varepsilon > 0$ ,由 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = A$ ,推知 $\exists {x}_{1} < 0$ ,使得当 $x \leq {x}_{\mathrm{N}}$ 时, 有
$$ \left| {f\left( x\right) - A}\right| < \frac{\varepsilon }{2}, $$
$$ \left| {f\left( \xi \right) - f\left( \eta \right) }\right| \leq \left| {f\left( \xi \right) - A}\right| + \left| {f\left( \eta \right) - A}\right| $$
$$ < \varepsilon \;\left( {\forall \xi ,\eta \leq {x}_{1}}\right) . \tag{5.7} $$
又由 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = B$ ,推知 $\exists {x}_{2} > 0$ ,使得当 $x \geq {x}_{2}$ 时,有
$$ \left| {f\left( x\right) - B}\right| < \frac{\varepsilon }{2}, $$
$$ \left| {f\left( \xi \right) - f\left( \eta \right) }\right| \leq \left| {f\left( \xi \right) - B}\right| + \left| {f\left( \eta \right) - B}\right| $$
$$ < \varepsilon \;\left( {\forall \xi ,\eta \geq {x}_{2}}\right) . \tag{5.8} $$
另一方面,因为函数 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {{x}_{1} - 1,{x}_{2} + 1}\right\rbrack$ ,所以 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {{x}_{1} - 1,{x}_{2} + 1}\right\rbrack$ 上一致连续. 于是 $\exists \delta \in \left( {0,1}\right)$ ,使得
$$ \left| {f\left( \xi \right) - f\left( \eta \right) }\right| < \varepsilon ,\;\forall \xi ,\eta \in \left\lbrack {{x}_{1} - 1,{x}_{2} + 1}\right\rbrack ,\left| {\xi - \eta }\right| < \delta . $$
(5.9)
这样,当 $\xi ,\eta \in \left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,且 $\left| {\xi - \eta }\right| < \delta$ 时,
(1)若 $\xi ,\eta < {x}_{1}$ ,由(5.7)式, $\left| {f\left( \xi \right) - f\left( \eta \right) }\right| < \varepsilon$ ；
(2)若 $\xi ,\eta > {x}_{2}$ ,由(5.8)式, $\left| {f\left( \xi \right) - f\left( \eta \right) }\right| < \varepsilon$ ；
(3) 若 $\xi$ 或 $\eta \in \left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack$ ,则有 $\xi ,\eta \in \left\lbrack {{x}_{1} - 1,{x}_{2} + 1}\right\rbrack$ ,由 (5.9) 式知
$$ \left| {f\left( \xi \right) - f\left( \eta \right) }\right| < \varepsilon $$
根据定义,即得 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上一致连续.
提问 本题如下证明是否正确? 由 (5.7) 式知 $f\left( x\right)$ 在 $\displaystyle{\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right\rbrack}$ 上一致连续; 由 (5.8) 式知 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {{x}_{2}, + \infty }\right)$ 上一致连续; 又 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack$ 上连续必一致连续. 因此, $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上一致连续.
解答 这样证明是错误的. 错误在于: 当 $\varepsilon$ 变动时, ${x}_{1},{x}_{2}$ 也在变动. 谈 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty ,{x}_{1}}\right\rbrack ,\left\lbrack {{x}_{2}, + \infty }\right)$ 上一致连续没有意义. 如果 $\varepsilon$ 不变,则没有对任给的 $\varepsilon > 0$ ,去找 $\delta > 0$ ,因此得不出一致连续.
评注 本题证明的基本思想不是证在三个区间上一致连续, 合起来得数轴上一致连续,而是对任给的 $\varepsilon > 0$ ,通过分三个区间来找 $\delta$ . 因为对于 $\forall \xi ,\eta \in \left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,即使 $\left| {\xi - \eta }\right| < \delta ,\xi ,\eta$ 也可以分别属于不同区间. 之所以在 (5.9) 式中要用区间 $\left\lbrack {{x}_{1} - 1,{x}_{2} + 1}\right\rbrack$ ,是由于 $\xi$ 与 $\eta$ 之间有牵连关系 $\left| {\xi - \eta }\right| < \delta$ ,而 $0 < \delta < 1$ . 于是,当 $\xi$ 或 $\eta$ 之一进入区间 $\left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack$ 时,另一个也被 “牵连” 到比区间 $\left\lbrack {{x}_{1},{x}_{2}}\right\rbrack$ “两端稍伸长”的区间 $\left\lbrack {{x}_{1} - 1,{x}_{2} + 1}\right\rbrack$ 里边去了.