📝 题目
例 11 设 $f\left( x\right) \in C\left( {a,b}\right)$ ,求证: $f\left( x\right)$ 在(a, b)上一致连续的充分必要条件为: 极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a + 0}}f\left( x\right)$ 和 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow b - 0}}f\left( x\right)$ 都存在.
💡 答案与解析
证 充分性 设 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a + 0}}f\left( x\right) = A,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow b - 0}}f\left( x\right) = B$ . 定义函数
$$ \widetilde{f}\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} A, & x = a, \\ f\left( x\right) , & a < x < b, \\ B, & x = b, \end{array}\right. $$
则函数 $\widetilde{f}\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续. 从而 $\widetilde{f}\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致连续,特别有 $\widetilde{f}\left( x\right)$ 在(a, b)上一致连续.
必要性 $\forall \varepsilon > 0$ ,因为 $f\left( x\right)$ 在(a, b)上一致连续,所以 $\exists \delta > 0$ , 使得对 $\forall {x}_{1},{x}_{2} \in \left( {a,b}\right)$ ,只要 $\left| {{x}_{1} - {x}_{2}}\right| < \delta$ ,就有 $\left| {f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }\right| <$ $\varepsilon$ . 由此可见
$$ \forall {x}_{1},{x}_{2} \in \left( {a,a + \delta }\right) \Rightarrow \left| {{x}_{1} - {x}_{2}}\right| < a + \delta - a = \delta $$
$$ \Rightarrow \left| {f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }\right| < \varepsilon \text{ . } $$
根据函数极限的收敛原理,即知极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a + 0}}f\left( x\right)$ 存在. 同理,
$$ \forall {x}_{1},{x}_{2} \in \left( {b - \delta ,b}\right) \Rightarrow \left| {{x}_{1} - {x}_{2}}\right| < b - \left( {b - \delta }\right) = \delta $$
$$ \Rightarrow \left| {f\left( {x}_{1}\right) - f\left( {x}_{2}\right) }\right| < \varepsilon \text{ . } $$
从而,极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow b - 0}}f\left( x\right)$ 存在.
引申 有界开区间上的一致连续函数,一定是有界的,且端点处的极限存在. 而在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上的一致连续函数,不一定有界,且当 $\displaystyle{x \rightarrow \pm \infty}$ 时,函数极限也不一定存在.