📝 题目
1.1.5 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在集合 $X$ 上有界,求证:
$$ \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} \leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} $$
$$ \leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} ; $$
$$ \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} \leq \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} $$
$$ \leq \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} . $$
💡 答案与解析
1. 1.1 将 $a$ 改写成 $\frac{1}{2}\left( {a + b + a - b}\right)$ ; 将 $b$ 改写成 $\frac{1}{2}\left( {b + a + b - a}\right)$ .