📝 题目
例 4 设 $f\left( x\right)$ 既关于直线 $x = a$ 对称,又关于直线 $x = b$ 对称, 已知 $b > a$ ,求证: $f\left( x\right)$ 是周期函数并求其周期.
💡 答案与解析
证 由已知
$$ f\left( {a - x}\right) = f\left( {a + x}\right) \overset{t = a + x}{ \Rightarrow }f\left( {{2a} - t}\right) = f\left( t\right) , \tag{2.1} $$
$$ f\left( {b - x}\right) = f\left( {b + x}\right) \overset{t = b + x}{ \Rightarrow }f\left( {{2b} - t}\right) = f\left( t\right) , \tag{2.2} $$
$$ f\left( x\right) \frac{\left( {2.1}\right) }{t = x}f\left( {{2a} - x}\right) $$
$$ \xrightarrow[{t = {2a} - x}]{\left( {2.2}\right) }f\left( {{2b} - \left( {{2a} - x}\right) }\right) = f\left( {x + 2\left( {b - a}\right) }\right) . $$
故 $f\left( x\right)$ 是周期函数,并且其周期是 $2\left( {b - a}\right)$ .
评注 本例给出利用函数图像特性判定函数为周期函数, 并同时求得周期的方法.