📝 题目
1.3.12 设 ${x}_{n} = {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n},{y}_{n} = {b}_{1} + {b}_{2} + \cdots + {b}_{n},{z}_{n} = {c}_{1} + {c}_{2} + \cdots + {c}_{n}$ , 且 ${c}_{n} \leq {a}_{n} \leq {b}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ ; 又设 $\left\{ {y}_{n}\right\} ,\left\{ {z}_{n}\right\}$ 极限存在. 求证: $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 极限也存在.
💡 答案与解析
### 题目 1.3.10
设 $c > 0$，求序列 $$ \sqrt{c},\ \sqrt{c + \sqrt{c}},\ \sqrt{c + \sqrt{c + \sqrt{c}}},\ \cdots $$ 的极限。
**解**：
1. **定义递推关系** 令 $$ x_1 = \sqrt{c},\quad x_{n+1} = \sqrt{c + x_n},\ n \ge 1. $$ 我们要求 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} x_n}$。
2. **证明序列单调递增且有上界** - 首先 $x_1 = \sqrt{c} > 0$。 - 假设 $x_n > 0$，则 $x_{n+1} = \sqrt{c + x_n} > \sqrt{c} = x_1$，但我们需要证明单调性。 比较 $x_{n+1}$ 与 $x_n$： $$ x_{n+1} > x_n \iff \sqrt{c + x_n} > x_n \iff c + x_n > x_n^2 \iff x_n^2 - x_n - c < 0. $$ 二次方程 $t^2 - t - c = 0$ 的正根为 $$ L = \frac{1 + \sqrt{1 + 4c}}{2}. $$ 所以当 $0 < x_n < L$ 时，有 $x_{n+1} > x_n$。 - 用归纳法： $x_1 = \sqrt{c} < L$（因为 $\sqrt{c} < \frac{1+\sqrt{1+4c}}{2}$ 显然成立）。 若 $x_n < L$，则 $$ x_{n+1} = \sqrt{c + x_n} < \sqrt{c + L} = \sqrt{L^2} = L, $$ 这里利用了 $L^2 = L + c$。 因此序列单调递增且以 $L$ 为上界，故极限存在。
3. **求极限** 设 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} x_n = a}$，对递推式两边取极限： $$ a = \sqrt{c + a} \implies a^2 = c + a \implies a^2 - a - c = 0. $$ 解得 $$ a = \frac{1 \pm \sqrt{1+4c}}{2}. $$ 由于 $a > 0$，取正根： $$ \boxed{\frac{1 + \sqrt{1+4c}}{2}}. $$
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### 题目 1.3.11
设 $x_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，求证：若 $$ \widetilde{x}_n = |a_1| + |a_2| + \cdots + |a_n| $$ 极限存在，则 $\{x_n\}$ 极限存在。
**解**：
1. **已知条件** $\widetilde{x}_n$ 收敛，意味着级数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty |a_k|}$ 收敛（即绝对收敛）。
2. **利用柯西收敛准则** 因为 $\widetilde{x}_n$ 收敛，所以它是柯西序列：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $m > n > N$ 时， $$ |\widetilde{x}_m - \widetilde{x}_n| = \sum_{k=n+1}^m |a_k| < \varepsilon. $$
3. **对原序列应用** 对于同样的 $m,n$，有 $$ |x_m - x_n| = \left|\sum_{k=n+1}^m a_k\right| \le \sum_{k=n+1}^m |a_k| < \varepsilon. $$ 因此 $\{x_n\}$ 也是柯西序列，从而收敛。 这就证明了 $\{x_n\}$ 极限存在。
$$ \boxed{\text{证毕}} $$
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### 题目 1.3.12
设 $$ x_n = a_1 + \cdots + a_n,\quad y_n = b_1 + \cdots + b_n,\quad z_n = c_1 + \cdots + c_n, $$ 且 $c_n \le a_n \le b_n\ (n=1,2,\dots)$；又设 $\{y_n\},\{z_n\}$ 极限存在。求证 $\{x_n\}$ 极限也存在。
**解**：
1. **由不等式得到部分和之间的关系** 对每个 $n$，有 $c_k \le a_k \le b_k$，求和得 $$ z_n \le x_n \le y_n. $$
2. **已知 $\{y_n\},\{z_n\}$ 收敛** 设 $$ \lim_{n\to\infty} y_n = Y,\quad \lim_{n\to\infty} z_n = Z. $$ 由 $z_n \le y_n$ 可知 $Z \le Y$。
3. **考虑下极限与上极限** 因为 $z_n \le x_n \le y_n$，取上、下极限得 $$ Z = \liminf_{n\to\infty} z_n \le \liminf_{n\to\infty} x_n \le \limsup_{n\to\infty} x_n \le \limsup_{n\to\infty} y_n = Y. $$ 但仅此不足以证明收敛，还需要额外的条件。
4. **利用已知收敛序列的差趋于零** 注意 $y_n - z_n = \sum_{k=1}^n (b_k - c_k)$，且 $b_k - c_k \ge 0$。 由于 $y_n$ 和 $z_n$ 都收敛，它们的差也收敛： $$ \lim_{n\to\infty} (y_n - z_n) = Y - Z. $$ 但 $y_n - z_n$ 是递增的非负序列，其极限存在。 对于任意 $m > n$， $$ 0 \le y_m - z_m \le y_n - z_n + \sum_{k=n+1}^m (b_k - c_k). $$ 然而更直接地：由 $x_n$ 夹在中间， $$ 0 \le y_n - x_n \le y_n - z_n,\quad 0 \le x_n - z_n \le y_n - z_n. $$ 因为 $y_n - z_n \to Y-Z$，所以 $$ \lim_{n\to\infty} (y_n - x_n) = 0,\quad \lim_{n\to\infty} (x_n - z_n) = 0. $$ 于是 $$ \lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} y_n = Y = \lim_{n\to\infty} z_n = Z. $$ 实际上这里推出 $Y=Z$，即两个极限相等，从而 $x_n$ 收敛到同一个值。
$$ \boxed{\text{证毕}} $$
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以上为三道题目的完整解答。