📝 题目
例 2 已知 $f\left( x\right)$ 是 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上的连续函数,它在 $x = 0$ 的某个邻域内满足关系式
$$ f\left( {1 + \sin x}\right) - {3f}\left( {1 - \sin x}\right) = {8x} + o\left( x\right) \;\left( {x \rightarrow 0}\right) , $$
且 $f\left( x\right)$ 在点 $x = 1$ 处可导,求曲线 $y = f\left( x\right)$ 在点 $\left( {1,f\left( 1\right) }\right)$ 处的切线方程.
💡 答案与解析
解 令 $\sin x = t$ ,注意到当 $x \rightarrow 0$ 时, $t \rightarrow 0$ ,且 $\sin x \sim x$ , arcsin $t \sim t$ . 题设条件可改写为
$$ f\left( {1 + t}\right) - {3f}\left( {1 - t}\right) = {8t} + o\left( t\right) \;\left( {t \rightarrow 0}\right) . \tag{1.4} $$
又因为 $f\left( x\right)$ 在点 $x = 1$ 处可导,所以
$$ f\left( {1 \pm t}\right) = f\left( 1\right) \pm {f}^{\prime }\left( 1\right) t + o\left( t\right) \;\left( {t \rightarrow 0}\right) . \tag{1.5} $$
将 (1.5) 式代入改写了的题设条件 (1.4) 式, 得到
$$ - {2f}\left( 1\right) + 4{f}^{\prime }\left( 1\right) t + o\left( t\right) = {8t} + o\left( t\right) \;\left( {t \rightarrow 0}\right) $$
$$ \Rightarrow f\left( 1\right) = 0,{f}^{\prime }\left( 1\right) = 2\text{ . } $$
从而,所求切线方程为 $y = {2x}$ .