📝 题目
1. 5.8 设 $f\left( x\right) \in C\lbrack 0, + \infty )$ ,又设对 $\forall l \in \mathbf{R}$ ,方程 $f\left( x\right) = l$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上只有有限个解或无解. 求证:
(1) 如果 $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上有界,则极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right)$ 存在;
(2)如果 $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上无上界,则 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty$ .
💡 答案与解析
**题目分析** 已知 $\\displaystyle{f(x) \in C[0, +\infty)}$，并且对于任意实数 $l$，方程 $f(x)=l$ 在 $\\displaystyle{[0, +\infty)}$ 上只有有限个解或无解。 这个条件说明 $f$ 的取值不会在一个值附近来回无限次振荡，否则就会有无穷多个解。
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### (1) 如果 $f(x)$ 在 $\\displaystyle{[0, +\infty)}$ 上有界，则极限 $\\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} f(x)}$ 存在。
**证明思路**： 由于 $f$ 有界，我们可以考虑它的上极限和下极限。利用题目条件说明上极限等于下极限，从而极限存在。
**步骤**：
1. 因为 $f$ 在 $\\displaystyle{[0, +\infty)}$ 上有界，定义 $$\\displaystyle{ L = \limsup_{x\to +\infty} f(x), \quad l = \liminf_{x\to +\infty} f(x). }$$ 显然 $l \le L$，且 $l, L$ 都是有限实数。
2. 假设 $l < L$。取两个实数 $a, b$ 满足 $$ l < a < b < L. $$ 由下极限的定义，存在一列 $x_n \to +\infty$ 使得 $f(x_n) \to l$，因此存在无穷多个 $x$ 使得 $f(x) < a$。 同样，由上极限的定义，存在一列 $y_n \to +\infty$ 使得 $f(y_n) \to L$，因此存在无穷多个 $y$ 使得 $f(y) > b$。
3. 由于 $f$ 连续，在每一个从 $f(x) < a$ 到 $f(y) > b$ 的区间上，由介值定理，必定存在某个点 $z$ 使得 $f(z) = c$，其中 $c$ 是 $(a,b)$ 中的任意一个固定值（比如取 $c = \frac{a+b}{2}$）。 因为 $x_n$ 和 $y_n$ 可以无限延伸，这样的 $z$ 会出现无穷多次，即方程 $f(x)=c$ 有无穷多个解，与题设矛盾。
4. 因此 $l = L$，即 $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ 存在。
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### (2) 如果 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上无上界，则 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$。
**证明思路**： 反证法。假设极限不是 $+\infty$，则存在一个有限的上界或者振荡，从而构造出矛盾。
**步骤**：
1. 已知 $f$ 无上界，即对任意 $M>0$，存在 $x$ 使得 $f(x) > M$。
2. 假设 $\lim_{x\to +\infty} f(x) \neq +\infty$，则存在某个有限数 $A$ 以及一列 $x_n \to +\infty$，使得 $f(x_n) \le A$ 对所有 $n$ 成立（否则若对所有有限上界最终都超过它，就是趋于无穷）。
3. 因为 $f$ 无上界，我们可以取一列 $y_n \to +\infty$ 使得 $f(y_n) \to +\infty$，特别地 $f(y_n) > A+1$ 对充分大的 $n$ 成立。
4. 现在考虑区间连接 $x_n$ 和 $y_n$（它们都趋于无穷，可以适当选取子列使得 $x_n < y_n < x_{n+1}$）。 在每个区间 $[x_n, y_n]$ 上，$f(x_n) \le A$，$f(y_n) > A+1$，由连续函数的介值定理，存在 $z_n \in (x_n, y_n)$ 使得 $f(z_n) = A+0.5$。 由于 $x_n, y_n$ 趋于无穷，$z_n$ 也趋于无穷，且彼此不同，因此方程 $f(x)=A+0.5$ 有无穷多个解，与题设矛盾。
5. 因此假设不成立，必有 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$。
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**结论**： (1) 有界时极限存在； (2) 无上界时极限为 $+\infty$。 证毕。