📝 题目
1.5.16 设 $f\left( x\right)$ 在(a, b)内一致连续,值域含于区间(c, d),又 $g\left( x\right)$ 在 (c, d)内一致连续. 求证: $g\left( {f\left( x\right) }\right)$ 在(a, b)内一致连续.
💡 答案与解析
### **题目 1.5.15**
**设函数 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b)$ 内一致连续。求证：$f(x)+g(x)$ 与 $f(x)\cdot g(x)$ 都在 $(a, b)$ 内一致连续。**
#### **证明：**
**1. 和函数的一致连续性**
由于 $f$ 和 $g$ 在 $(a,b)$ 内一致连续，由定义： $$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta_1 > 0, \forall x_1, x_2 \in (a,b), |x_1 - x_2| < \delta_1 \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2} $$ $$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta_2 > 0, \forall x_1, x_2 \in (a,b), |x_1 - x_2| < \delta_2 \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2} $$ 取 $\displaystyle{\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}}$，则当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $$ |(f+g)(x_1) - (f+g)(x_2)| \le |f(x_1)-f(x_2)| + |g(x_1)-g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $$ 因此 $f+g$ 一致连续。
**2. 积函数的一致连续性**
因为 $f, g$ 一致连续，则它们有界（在有限开区间上一致连续的函数必有界）。设 $$ |f(x)| \le M_1, \quad |g(x)| \le M_2, \quad \forall x \in (a,b) $$ 令 $\displaystyle{M = \max\{M_1, M_2\}}$。
对任意 $\varepsilon > 0$，由一致连续性： $$ \exists \delta_1 > 0, |x_1 - x_2| < \delta_1 \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2M} $$ $$ \exists \delta_2 > 0, |x_1 - x_2| < \delta_2 \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2M} $$ 取 $\displaystyle{\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}}$，则当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时， $$ \begin{aligned} |f(x_1)g(x_1) - f(x_2)g(x_2)| &\le |f(x_1)g(x_1) - f(x_1)g(x_2)| + |f(x_1)g(x_2) - f(x_2)g(x_2)| \\ &\le |f(x_1)||g(x_1)-g(x_2)| + |g(x_2)||f(x_1)-f(x_2)| \\ &\le M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} = \varepsilon \end{aligned} $$ 因此 $f\cdot g$ 一致连续。
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### **题目 1.5.16**
**设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内一致连续，值域含于区间 $(c,d)$，又 $g(x)$ 在 $(c,d)$ 内一致连续。求证：$g(f(x))$ 在 $(a,b)$ 内一致连续。**
#### **证明：**
由于 $g$ 在 $(c,d)$ 上一致连续，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\eta > 0$，使得 $$ \forall y_1, y_2 \in (c,d), \ |y_1 - y_2| < \eta \Rightarrow |g(y_1) - g(y_2)| < \varepsilon $$ 又因为 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续，对上述 $\eta > 0$，存在 $\delta > 0$，使得 $$ \forall x_1, x_2 \in (a,b), \ |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \eta $$ 由于 $f(x)$ 的值域包含于 $(c,d)$，所以 $f(x_1), f(x_2) \in (c,d)$，于是 $$ |g(f(x_1)) - g(f(x_2))| < \varepsilon $$ 因此 $g \circ f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。
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### **题目 1.5.17**
**设 $f(x) \in C(-\infty, +\infty)$，且是周期为 $T$ 的周期函数。求证：$f(x)$ 在实轴上一致连续。**
#### **证明：**
因为 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且周期为 $T$，所以只需考虑一个周期区间 $[0, T]$（或任意闭区间 $[a, a+T]$）。
闭区间 $[0, T]$ 上的连续函数必一致连续（Cantor定理）。即： $$ \forall \varepsilon > 0, \exists \delta_0 > 0, \forall x_1, x_2 \in [0, T], |x_1 - x_2| < \delta_0 \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon $$ 现在取 $\displaystyle{\delta = \min\{\delta_0, T/2\}}$，对任意实数 $x, y$ 满足 $|x - y| < \delta$，我们分情况讨论：
- 若 $x, y$ 落在同一个周期区间 $[kT, (k+1)T]$ 内，由周期性，可平移至 $[0,T]$ 上，从而 $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。 - 若 $x, y$ 跨越两个相邻周期区间，比如 $x \in [kT, (k+1)T]$，$y \in [(k+1)T, (k+2)T]$，由于 $|x-y| < \delta \le T/2$，它们必然都落在区间 $[(k+1)T - \delta, (k+1)T + \delta]$ 内，该区间长度 $2\delta \le T$，因此可平移至一个长度不超过 $T$ 的闭区间上，同样由一致连续性得到 $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。
因此，对任意实数 $x,y$，只要 $|x-y|<\delta$，就有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，故 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
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以上即为三道题目的完整证明。