📝 题目
2. 1.15 设曲线既可用参数式 $x = x\left( t\right) ,y = y\left( t\right)$ 表示,又可用极坐标 $r =$ $r\left( \theta \right)$ 表示. 求证: $\frac{1}{2}{r}^{2}\mathrm{\;d}\theta = \frac{1}{2}\left( {x\mathrm{\;d}y - y\mathrm{\;d}x}\right)$ .
💡 答案与解析
**题目**： 设曲线既可用参数式 $x = x(t), y = y(t)$ 表示，又可用极坐标 $r = r(\theta)$ 表示。 求证： $$ \frac12 r^2 \, d\theta = \frac12 (x\,dy - y\,dx). $$
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**证明**：
首先，极坐标与直角坐标的转换关系为： $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta. $$ 这里 $r = r(\theta)$ 是 $\theta$ 的函数，而 $\theta$ 本身可以视为参数 $t$ 的函数，因此我们可以把 $x, y$ 看作 $t$ 的复合函数。
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**步骤 1：计算极坐标下的面积元表达式**
在极坐标中，面积元（扇形面积微元）为： $$ dA = \frac12 r^2 \, d\theta. $$ 这是已知的几何事实：当角度变化 $d\theta$ 时，半径为 $r$ 的扇形面积近似为 $\frac12 r^2 d\theta$。
因此，左边即为 $\frac12 r^2 d\theta$。
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**步骤 2：用直角坐标表示同样的面积元**
在直角坐标参数形式下，由参数 $t$ 给出的曲线，其有向面积微元（即向量 $(x,y)$ 与 $(dx,dy)$ 所张平行四边形的有向面积的一半）为： $$ \frac12 (x\,dy - y\,dx). $$ 这是因为： $$ x\,dy - y\,dx = \begin{vmatrix} x & y \\ dx & dy \end{vmatrix} $$ 正是向量 $(x,y)$ 与 $(dx,dy)$ 所张平行四边形的有向面积。
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**步骤 3：将极坐标代入直角坐标表达式验证**
将 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$ 代入 $x\,dy - y\,dx$：
先计算微分： $$ dx = \frac{dx}{d\theta} d\theta = (r'\cos\theta - r\sin\theta)\, d\theta, $$ $$ dy = \frac{dy}{d\theta} d\theta = (r'\sin\theta + r\cos\theta)\, d\theta. $$
于是： $$ x\,dy - y\,dx = r\cos\theta\,(r'\sin\theta + r\cos\theta)\,d\theta - r\sin\theta\,(r'\cos\theta - r\sin\theta)\,d\theta. $$
展开： $$ = r\cos\theta\, r'\sin\theta\, d\theta + r^2\cos^2\theta\, d\theta - r\sin\theta\, r'\cos\theta\, d\theta + r^2\sin^2\theta\, d\theta. $$
注意第一项和第三项互为相反数，相消： $$ r r' \cos\theta\sin\theta - r r' \sin\theta\cos\theta = 0. $$
剩下： $$ r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)\, d\theta = r^2\, d\theta. $$
因此： $$ \frac12 (x\,dy - y\,dx) = \frac12 r^2\, d\theta. $$
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**步骤 4：结论**
左右两边相等，即： $$ \frac12 r^2 \, d\theta = \frac12 (x\,dy - y\,dx). $$ 证毕。
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**关键步骤说明**： - 关键在于理解两个表达式都表示曲线下的有向面积微元，只是坐标系不同。 - 代入极坐标转换并化简时，交叉项恰好抵消，只剩下 $r^2 d\theta$，从而验证了恒等式。