📝 题目
2.2.2 设函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,3}\right\rbrack$ 上连续,且在(0,3)内 $f\left( 0\right) + f\left( 1\right) + f\left( 2\right) = 3$ , $f\left( 3\right) = 1$ . 求证: $\exists \xi \in \left( {0,3}\right)$ ,使得 ${f}^{\prime }\left( \xi \right) = 0$ .
💡 答案与解析
2.2.2 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,2}\right\rbrack$ 上的最大值为 $M$ ,最小值为 $m$ ,注意到
$$ m \leq \frac{f\left( 0\right) + f\left( 1\right) + f\left( 2\right) }{3} \leq M. $$
由介值定理知, $\exists c \in \left\lbrack {0,2}\right\rbrack$ ,使得
$$ f\left( c\right) = \frac{f\left( 0\right) + f\left( 1\right) + f\left( 2\right) }{3} =