方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.4题

2.4.1
设 $a>0,b>0$，求证 $f(x)=\sqrt{a+bx^2}$ 为凹函数。

证明：
要证明 $f(x)$ 是凹函数，只需证明其二阶导数 $f''(x) \le 0$ 恒成立。

先求一阶导数：
$$
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{a+bx^2}} \cdot 2bx = \frac{bx}{\sqrt{a+bx^2}}
$$

再求二阶导数，使用商法则：
$$
f''(x) = \frac{b\sqrt{a+bx^2} - bx\cdot \frac{bx}{\sqrt{a+bx^2}}}{a+bx^2}
= \frac{b(a+bx^2) - b^2 x^2}{(a+bx^2)^{3/2}}
= \frac{ab}{(a+bx^2)^{3/2}}
$$

因为 $a>0,b>0$，所以 $ab>0$，分母 $(a+bx^2)^{3/2}>0$，因此：
$$
f''(x) > 0
$$
这意味着 $f(x)$ 实际上是凸函数，而非凹函数。题目可能笔误，若要求凹函数，则需 $f''(x)\le 0$，但这里显然恒正。所以结论：$f(x)$ 是严格凸函数。

---

2.4.2
求证：不存在三次或三次以上的奇次多项式是凹函数。

证明：
设 $P(x)$ 是一个奇次多项式，次数 $n\ge 3$ 且为奇数。
凹函数的定义要求 $P''(x) \le 0$ 对所有 $x$ 成立。

但 $P''(x)$ 的次数为 $n-2$，当 $n\ge 3$ 时，$n-2\ge 1$，且因为 $n$ 是奇数，所以 $n-2$ 是奇数。
一个次数为奇数的多项式当 $\displaystyle{x\to +\infty}$ 时趋向 $\displaystyle{+\infty}$ 或 $\displaystyle{-\infty}$，而当 $\displaystyle{x\to -\infty}$ 时趋向相反的无穷。因此它不可能在整个实数轴上恒为非正（或恒为非负）。
所以不存在这样的多项式满足 $P''(x)\le 0$ 恒成立，即不存在三次或以上的奇次多项式为凹函数。

---

2.4.3
设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上取正值且为凸函数，求证 $\frac{1}{f(x)}$ 是凹函数。

证明：
设 $g(x)=\frac{1}{f(x)}$。
由凸函数定义，$f''(x)\ge 0$。计算 $g''(x)$：

一阶导数：
$$
g'(x) = -\frac{f'(x)}{f^2(x)}
$$

二阶导数：
$$
g''(x) = -\frac{f''(x)f^2(x) - f'(x)\cdot 2f(x)f'(x)}{f^4(x)}
= -\frac{f''(x)f(x) - 2[f'(x)]^2}{f^3(x)}
$$

因为 $f(x)>0$，分母 $f^3(x)>0$，所以 $g''(x)$ 的符号由分子 $-[f''(x)f(x)-2(f'(x))^2]$ 决定。
已知 $f''(x)\ge 0$，但 $2(f'(x))^2\ge 0$，因此：
$$
f''(x)f(x) - 2(f'(x))^2
$$
的符号不确定，不能直接得到 $g''(x)\le 0$。
我们需要用凸函数的另一种性质：对于凸函数，有：
$$
f(tx+(1-t)y) \le t f(x)+(1-t)f(y)
$$
取倒数时，由于 $f>0$，倒数函数 $t\mapsto 1/t$ 在正数上是凸函数，复合后不能直接得到凹性。实际上，这里题目条件可能不足，或者需要额外假设 $f$ 是正的凸函数且是递减的？
但常见结论是：若 $f>0$ 且凸，则 $1/f$ 未必是凹的（例如 $f(x)=x^2+1$ 是凸的，但 $1/(x^2+1)$ 不是凹函数）。
因此原题可能要求 $f$ 是凹函数？若 $f$ 是正的凹函数，则 $1/f$ 是凸函数。这里条件写为凸函数，可能需修正。

---

2.4.4
设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上二次可微，$f''(x)\ge 0$，且 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=0$，求证：
$$
\lim_{x\to +\infty} f'(x)=0
$$

证明：
由 $f''(x)\ge 0$ 知 $f'(x)$ 单调递增。
又因为 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=0$ 且 $f$ 可微，考虑两种情况：

若存在 $x_0$ 使得 $f'(x_0)>0$，则由单调性，对所有 $x\ge x_0$ 有 $f'(x)\ge f'(x_0)>0$，那么：
$$
f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t)\,dt \ge f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \to +\infty
$$
当 $\displaystyle{x\to+\infty}$，这与 $f(x)\to 0$ 矛盾。

若存在 $x_0$ 使得 $f'(x_0)<0$，则由于 $f'(x)$ 递增，它可能一直为负或逐渐增加。但若一直为负且远离0，则 $f(x)$ 会递减到 $\displaystyle{-\infty}$，也与极限为0矛盾。
因此唯一可能是 $f'(x)$ 递增且有上界0（不能恒正），且下极限不能为负无穷，故必须 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f'(x)=0$。

严格来说：由 $f''\ge 0$ 知 $f'$ 单调，且极限 $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f'(x)$ 存在（可为有限或无穷）。若极限为 $L>0$，则当 $x$ 充分大时 $f'(x)>L/2$，积分得 $f(x)\to +\infty$，矛盾；若 $L<0$，则 $f(x)\to -\infty$，矛盾。故 $L=0$。

---

综上，四个小题的解答如上。