📝 题目
例 8 设 $f\left( x\right)$ 在 $\mathbf{R}$ 上可微,且 $f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right)$ 没有公共零点. 求证: 集合 $\{ x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \mid f\left( x\right) = 0\}$ 是有穷集.
💡 答案与解析
证 用反证法. 假设 $\exists {x}_{n} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,使得 $f\left( {x}_{n}\right) = 0\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ . 那么根据波尔察诺定理, $\displaystyle{\exists {\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\} }_{k = 1}^{\infty }}$ 和 ${x}_{0} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,使得 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = {x}_{0}}$ . 于是有
$$ f\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}0 = 0, $$
$$ {f}^{\prime }\left( {x}_{0}\right) = \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}\frac{f\left( {x}_{{n}_{k}}\right) - f\left( {x}_{0}\right) }{{x}_{{n}_{k}} - {x}_{0}} = 0. $$
这意味着 ${x}_{0}$ 是 $f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right)$ 的公共零点. 这与 $f\left( x\right) ,{f}^{\prime }\left( x\right)$ 没有公共零点矛盾. 这矛盾说明反证法假设不成立,故 $\{ x \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack \mid f\left( x\right) = 0\}$ 是有穷集.