方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.4题

## 题目 2.4.5

已知条件
$f(x)$ 在 $\\displaystyle{[a,+\infty)}$ 上二次可微，且 $f''(x) \ge 0$（即 $f$ 是凸函数）。

(1) 证明不等式

要证明：
$$
\frac{f(x) - f(x-h)}{h} \le f'(x) \le \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, \quad 0 < h < x
$$

证明：

因为 $f''(x) \ge 0$，所以 $f'(x)$ 单调不减（非递减）。

由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (x-h, x)$ 和 $\xi_2 \in (x, x+h)$，使得
$$
\frac{f(x) - f(x-h)}{h} = f'(\xi_1), \quad \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(\xi_2)
$$
由于 $\xi_1 < x < \xi_2$，且 $f'$ 单调不减，所以
$$
f'(\xi_1) \le f'(x) \le f'(\xi_2)
$$
代入即得：
$$
\frac{f(x) - f(x-h)}{h} \le f'(x) \le \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
证毕。

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(2) 若 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$，则 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = 1$

证明：

由 (1) 中的不等式，取 $h = 1$（只要 $x > 1$ 即可），有：
$$
f(x) - f(x-1) \le f'(x) \le f(x+1) - f(x)
$$
现在考虑 $\displaystyle \frac{f(x)}{x} \to 1$ 的含义。
由 Stolz 定理（或直接推导），有：
$$\\displaystyle{
\lim_{x\to\infty} [f(x+1)-f(x)] = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = 1
}$$
同样地，
$$\\displaystyle{
\lim_{x\to\infty} [f(x)-f(x-1)] = 1
}$$
于是由夹逼定理，得到
$$\\displaystyle{
\lim_{x\to+\infty} f'(x) = 1
}$$
证毕。

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## 题目 2.4.6 作出函数图形

我们依次分析每个函数的性质，并给出作图要点。

(1) $y = x^3 - x^2 - x + 1$

步骤：
- 求导：$y' = 3x^2 - 2x - 1$，令 $y'=0$ 得 $x = 1$ 或 $\displaystyle x = -\frac13$。
- 二阶导：$y'' = 6x - 2$，拐点 $\displaystyle x = \frac13$。
- 函数值：
$x=-1/3$ 时 $y \approx 1.185$（极大值），
$x=1$ 时 $y=0$（极小值），
$x=0$ 时 $y=1$，$x\to -\infty$ 时 $y\to -\infty$，$x\to +\infty$ 时 $y\to +\infty$。

图形：三次曲线，一个极大点、一个极小点、一个拐点。

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(2) $y = x e^{-x^2}$

步骤：
- 定义域 $\mathbb{R}$，偶函数？不是，$f(-x) = -x e^{-x^2} = -f(x)$，是奇函数。
- 求导：$y' = e^{-x^2}(1 - 2x^2)$，驻点 $\displaystyle x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。
- 极大值：$x = 1/\sqrt{2}$ 时 $\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-1/2}$；极小值对称。
- 渐近线：$x\to \pm\infty$ 时 $y\to 0$。
- 拐点：$y''=0$ 解出 $x=0$ 或 $x=\pm\sqrt{3/2}$。

图形：奇函数，在原点附近上升，两侧趋于0，有对称的峰和谷。

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(3) $\displaystyle y = x + \frac{1}{x}$

步骤：
- 定义域 $x \neq 0$，奇函数。
- 导数 $\displaystyle y' = 1 - \frac{1}{x^2}$，驻点 $x = \pm 1$。
- $x=1$ 时 $y=2$（极小），$x=-1$ 时 $y=-2$（极大）。
- 渐近线：$y=x$ 为斜渐近线，$x=0$ 为垂直渐近线。

图形：双曲线型，两支分别趋近 $y=x$ 和 $x=0$。

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(4) $y = x \ln x$

步骤：
- 定义域 $x>0$。
- 导数 $y' = \ln x + 1$，驻点 $x = 1/e$，此时 $y = -1/e$（极小值）。
- 二阶导 $y'' = 1/x > 0$，所以函数是凸的。
- 当 $x\to 0^+$ 时 $y\to 0$（因为 $x\ln x \to 0$），当 $x\to +\infty$ 时 $y\to +\infty$。

图形：从原点出发（极限意义），先下降到极小点，再单调上升。

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以上即为两题的详细解答。