方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.5题

题目：
若一实系数多项式 $P(x)$ 的根全是实根，求证：$P(x)$ 各阶导数产生的多项式的根也全是实根，且每一高阶导数的根均分布在低阶导数的根之间。

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第一步：明确已知条件与目标

已知 $P(x)$ 是实系数多项式，且它的所有根都是实数。
我们要证明：
1. 对任意 $k \ge 1$，$P^{(k)}(x)$ 的所有根也都是实数；
2. 若记 $P^{(k)}(x)$ 的根从小到大排列为
$$
r_1^{(k)} < r_2^{(k)} < \cdots < r_{n-k}^{(k)}
$$
则对于每个 $i$，有
$$
r_i^{(k)} < r_i^{(k+1)} < r_{i+1}^{(k)}
$$
即高阶导数的根插在低阶导数的根之间。

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第二步：证明一阶导数的根全是实根且分布在原多项式的根之间

设 $P(x)$ 是 $n$ 次多项式，有 $n$ 个实根（计重数），记作
$$
a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n
$$
由罗尔定理（Rolle's theorem），在每两个相邻实根 $(a_i, a_{i+1})$ 之间，$P'(x)$ 至少有一个根。
此外，若某个根的重数 $m>1$，则该点也是 $P'(x)$ 的根（重数 $m-1$）。

因此，$P'(x)$ 的实根总数至少为：
- 每个相邻区间至少一个根，共 $n-1$ 个；
- 再加上重根处贡献的根（计入重数）。

而 $P'(x)$ 是 $n-1$ 次多项式，最多有 $n-1$ 个根（计重数）。因此上述所有根恰好就是它的全部根，且都是实数。
并且这些根严格位于原多项式的根之间（若原根互异）或重合于重根处。

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第三步：归纳假设

假设对于某个 $k$，$P^{(k)}(x)$ 的所有根都是实数，且设它们为
$$
b_1 \le b_2 \le \cdots \le b_{n-k}
$$
我们要证明 $P^{(k+1)}(x)$ 的根也都是实数，且分布在 $b_i$ 之间。

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第四步：归纳步骤

对 $P^{(k)}(x)$ 应用罗尔定理：
在每两个相邻实根 $b_i$ 与 $b_{i+1}$ 之间，$P^{(k+1)}(x)$ 至少有一个根。
此外，若某个 $b_i$ 的重数大于1，则该点也是 $P^{(k+1)}(x)$ 的根（重数减1）。

因此 $P^{(k+1)}(x)$ 至少有：
- 区间根：$n-k-1$ 个；
- 重根处贡献的根。

而 $P^{(k+1)}(x)$ 是 $n-k-1$ 次多项式，最多有 $n-k-1$ 个根（计重数）。
所以这些根正好就是它的全部根，且都是实数。
并且每个 $P^{(k+1)}(x)$ 的根都位于某两个相邻的 $P^{(k)}(x)$ 的根之间（或在重根处重合）。

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第五步：结论

由数学归纳法，对所有 $k = 1, 2, \dots, n$，$P^{(k)}(x)$ 的根全是实根，且高阶导数的根分布在低阶导数的根之间。
特别地，对于 $k=n$，$P^{(n)}(x)$ 是常数，无根，但上述结论对 $k < n$ 均成立。

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证毕。