📝 题目
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2.5.10 若一实系数多项式 $P\left( x\right)$ 的根全是实根,求证: $P\left( x\right)$ 各阶导数产生的多项式的根也全是实根, 且每一高阶导数的根均分布在低阶导数的根之间.
💡 答案与解析
**题目**： 若一实系数多项式 $P(x)$ 的根全是实根，求证：$P(x)$ 各阶导数产生的多项式的根也全是实根，且每一高阶导数的根均分布在低阶导数的根之间。
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### 第一步：明确已知条件与目标
已知 $P(x)$ 是实系数多项式，且它的所有根都是实数。 我们要证明： 1. 对任意 $k \ge 1$，$P^{(k)}(x)$ 的所有根也都是实数； 2. 若记 $P^{(k)}(x)$ 的根从小到大排列为 $$ r_1^{(k)} < r_2^{(k)} < \cdots < r_{n-k}^{(k)} $$ 则对于每个 $i$，有 $$ r_i^{(k)} < r_i^{(k+1)} < r_{i+1}^{(k)} $$ 即高阶导数的根插在低阶导数的根之间。
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### 第二步：证明一阶导数的根全是实根且分布在原多项式的根之间
设 $P(x)$ 是 $n$ 次多项式，有 $n$ 个实根（计重数），记作 $$ a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n $$ 由罗尔定理（Rolle's theorem），在每两个相邻实根 $(a_i, a_{i+1})$ 之间，$P'(x)$ 至少有一个根。 此外，若某个根的重数 $m>1$，则该点也是 $P'(x)$ 的根（重数 $m-1$）。
因此，$P'(x)$ 的实根总数至少为： - 每个相邻区间至少一个根，共 $n-1$ 个； - 再加上重根处贡献的根（计入重数）。
而 $P'(x)$ 是 $n-1$ 次多项式，最多有 $n-1$ 个根（计重数）。因此上述所有根恰好就是它的全部根，且都是实数。 并且这些根严格位于原多项式的根之间（若原根互异）或重合于重根处。
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### 第三步：归纳假设
假设对于某个 $k$，$P^{(k)}(x)$ 的所有根都是实数，且设它们为 $$ b_1 \le b_2 \le \cdots \le b_{n-k} $$ 我们要证明 $P^{(k+1)}(x)$ 的根也都是实数，且分布在 $b_i$ 之间。
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### 第四步：归纳步骤
对 $P^{(k)}(x)$ 应用罗尔定理： 在每两个相邻实根 $b_i$ 与 $b_{i+1}$ 之间，$P^{(k+1)}(x)$ 至少有一个根。 此外，若某个 $b_i$ 的重数大于1，则该点也是 $P^{(k+1)}(x)$ 的根（重数减1）。
因此 $P^{(k+1)}(x)$ 至少有： - 区间根：$n-k-1$ 个； - 重根处贡献的根。
而 $P^{(k+1)}(x)$ 是 $n-k-1$ 次多项式，最多有 $n-k-1$ 个根（计重数）。 所以这些根正好就是它的全部根，且都是实数。 并且每个 $P^{(k+1)}(x)$ 的根都位于某两个相邻的 $P^{(k)}(x)$ 的根之间（或在重根处重合）。
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### 第五步：结论
由数学归纳法，对所有 $k = 1, 2, \dots, n$，$P^{(k)}(x)$ 的根全是实根，且高阶导数的根分布在低阶导数的根之间。 特别地，对于 $k=n$，$P^{(n)}(x)$ 是常数，无根，但上述结论对 $k < n$ 均成立。
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**证毕。**