📝 题目
3.1.3 求下列不定积分:
(1) $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{3{x}^{2} - 2}}}$ ; (2) $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{{x}^{2} + 1}}}$ ；
(3) $\displaystyle \int \sqrt{\frac{a + x}{a - x}}\mathrm{\;d}x\left( {a > 0}\right)$ ; (4) $\displaystyle \int \sqrt{\frac{x - a}{x + a}}\mathrm{\;d}x\left( {a \geq 0}\right)$ ;
(5) $\displaystyle{\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 + x + {x}^{2}}}}$ ; (6) $\displaystyle{\int \frac{x + 3}{\sqrt{4{x}^{2} + {4x} + 3}}\mathrm{\;d}x}$ ;
(7) $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\left( {x + a}\right) \left( {x + b}\right) }}\mathrm{d}x\left( {a < b}\right)$ ; (8) $\displaystyle{\int \sqrt{\frac{x}{1 - x\sqrt{x}}}\mathrm{\;d}x}$ .
💡 答案与解析
3. 1.1 (1) $x - {\mathrm{e}}^{x} + \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x} + C$ ; (2) $- \arctan x - \frac{1}{x} + C$ ;
(3) $\frac{4}{7}{x}^{\frac{7}{4}} + C$ ; (4) $2\arcsin x + C$ ;
(5) $\tan x - x + C$ ;
(6) $\frac{1}{2\cos {2x} + 2}\left( {4\sin {2x} - {2x} - {2x}\cos {2x}}\right) + C$ ;
(7) $- 4\frac{\sin {4x}}{2 - 2\cos {4x}} + C$ ; (8) $- 8\frac{\sin {2x}}{2 - 2\cos {4x}} + C$ ；
(9) $\frac{1}{6}\sqrt{6}\arctan \frac{1}{2}x\sqrt{6} + C$ ;
(10) $\frac{1}{12}\sqrt{6}\ln \left( {x + \frac{1}{3}\sqrt{6}}\right) - \frac{1}{12}\sqrt{6}\ln \left( {x - \frac{1}{3}\sqrt{6}}\right) + C$ ;
(11) $\sqrt[3]{1 - {3x}}\left( {\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}}\right) + C$ ;
(12) $\sqrt[3]{1 - {3x}}\left( {\frac{3}{7}{x}^{2} - \frac{1}{28}x - \frac{1}{28}}\right) + C$ .