📝 题目
3. 3.1 设 $f\left( x\right) = {2x}\sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}\left( {x \neq 0}\right) ;f\left( 0\right) = 0$ .
(1) 问 $f\left( x\right)$ 是否在 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 上可积?
(2)问变上限积分 $\displaystyle{\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t$ 在点 $x = 0$ 处是否可导？
💡 答案与解析
3. 3.1 (1) 因为 $f\left( x\right)$ 有界,并且只有一个不连续点 $x = 0$ ,所以 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {-1,1}\right\rbrack$ 上可积.
(2)由微积分基本定理,
$$ {\int }_{-1}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = {x}^{2}\sin \frac{1}{x} + \sin