📝 题目
3. 6 设 $f\left( x\right) = f\left( {x - \pi }\right) + \sin x$ ,且当 $x \in \left\lbrack {0,\pi }\right\rbrack$ 时, $f\left( x\right) = x$ ,求
$$ {\int }_{\pi }^{3\pi }f\left( x\right) \mathrm{d}x $$
3.3.7 对任意自然数 $n$ ,求证:
$$ {\int }_{0}^{n}\frac{1 - {\left( 1 - \frac{t}{n}\right) }^{n}}{t}\mathrm{\;d}t = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}. $$
💡 答案与解析
### 题目 3.6
已知函数 $f(x)$ 满足 $$ f(x) = f(x - \pi) + \sin x $$ 且当 $x \in [0, \pi]$ 时，$f(x) = x$。 要求计算 $$ \int_{\pi}^{3\pi} f(x) \, dx $$
#### 第一步：利用递推关系分段表示函数
对于 $x \in [\pi, 2\pi]$，令 $t = x - \pi \in [0, \pi]$，则 $$ f(x) = f(x - \pi) + \sin x = f(t) + \sin x $$ 由于 $t \in [0, \pi]$，有 $f(t) = t$，所以 $$ f(x) = (x - \pi) + \sin x, \quad x \in [\pi, 2\pi] $$
对于 $x \in [2\pi, 3\pi]$，令 $u = x - \pi \in [\pi, 2\pi]$，则 $$ f(x) = f(x - \pi) + \sin x = f(u) + \sin x $$ 而我们已经知道在 $[\pi, 2\pi]$ 上 $f(u) = (u - \pi) + \sin u$，代入 $u = x - \pi$ 得 $$ f(x) = \big[(x - \pi) - \pi\big] + \sin(x - \pi) + \sin x $$ 注意 $\sin(x - \pi) = -\sin x$，所以 $$ f(x) = x - 2\pi + (-\sin x) + \sin x = x - 2\pi, \quad x \in [2\pi, 3\pi] $$
#### 第二步：分段积分
积分区间为 $[\pi, 3\pi]$，分成两段： $$ \int_{\pi}^{3\pi} f(x) \, dx = \int_{\pi}^{2\pi} \big[(x - \pi) + \sin x\big] \, dx + \int_{2\pi}^{3\pi} (x - 2\pi) \, dx $$
先计算第一段： $$ \int_{\pi}^{2\pi} (x - \pi) \, dx = \left[ \frac{(x - \pi)^2}{2} \right]_{\pi}^{2\pi} = \frac{(\pi)^2}{2} - 0 = \frac{\pi^2}{2} $$ $$ \int_{\pi}^{2\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{\pi}^{2\pi} = (-\cos 2\pi) - (-\cos \pi) = (-1) - (1) = -2 $$ 所以第一段和为 $\frac{\pi^2}{2} - 2$。
再计算第二段： $$ \int_{2\pi}^{3\pi} (x - 2\pi) \, dx = \left[ \frac{(x - 2\pi)^2}{2} \right]_{2\pi}^{3\pi} = \frac{(\pi)^2}{2} - 0 = \frac{\pi^2}{2} $$
#### 第三步：总和
$$ \int_{\pi}^{3\pi} f(x) \, dx = \left( \frac{\pi^2}{2} - 2 \right) + \frac{\pi^2}{2} = \pi^2 - 2 $$
最终答案为： $$ \boxed{\pi^2 - 2} $$
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### 题目 3.3.7
对任意自然数 $n$，求证： $$ \int_{0}^{n} \frac{1 - \left(1 - \frac{t}{n}\right)^n}{t} \, dt = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} $$
#### 第一步：变量替换
令 $u = 1 - \frac{t}{n}$，则当 $t = 0$ 时 $u = 1$；当 $t = n$ 时 $u = 0$。 并且 $t = n(1 - u)$，所以 $dt = -n \, du$。 代入积分： $$ \int_{0}^{n} \frac{1 - (1 - \frac{t}{n})^n}{t} \, dt = \int_{1}^{0} \frac{1 - u^n}{n(1-u)} (-n) \, du = \int_{0}^{1} \frac{1 - u^n}{1 - u} \, du $$
#### 第二步：利用等比数列求和公式
对于 $u \neq 1$，有恒等式： $$ \frac{1 - u^n}{1 - u} = 1 + u + u^2 + \cdots + u^{n-1} $$ 因此积分变为： $$ \int_{0}^{1} (1 + u + u^2 + \cdots + u^{n-1}) \, du $$
#### 第三步：逐项积分
$$ \int_{0}^{1} u^{k} \, du = \frac{1}{k+1}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1 $$ 所以： $$ \int_{0}^{1} (1 + u + \cdots + u^{n-1}) \, du = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} $$
这就证明了等式成立。
$$ \boxed{1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}} $$
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以上为两道题的完整解答。