📝 题目
例 1 试问如下推证过程是否正确? 对函数
$$ f\left( t\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {t}^{2}\sin \frac{1}{t}, & t \neq 0, \\ 0, & t = 0 \end{array}\right. $$
在 $\left\lbrack {0,x}\right\rbrack$ 上应用拉格朗日定理,得
$$ {x}^{2}\sin \frac{1}{x} = x\left( {{2\xi }\sin \frac{1}{\xi } - \cos \frac{1}{\xi }}\right) \;\left( {0 < \xi < x}\right) , $$
即
$$ \cos \frac{1}{\xi } = {2\xi }\sin \frac{1}{\xi } - x\sin \frac{1}{x}\;\left( {0 < \xi < x}\right) . \tag{2.1} $$
因为 $0 < \xi < x$ ,所以当 $x \rightarrow 0$ 时,有 $\xi \rightarrow 0$ . 于是,由 (2.1) 式得
$$ \mathop{\operatorname{limcos}}\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{1}{\xi } = 0 \tag{2.2} $$
即
$$ \mathop{\operatorname{limcos}}\limits_{{\xi \rightarrow 0}}\frac{1}{\xi } = 0. \tag{2.3} $$
💡 答案与解析
解答 已知 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{\xi \rightarrow 0}}\cos \frac{1}{\xi }}$ 不存在,所以等式 (2.3) 显然是错误的. 错误在于从 (2.2) 式推不出 (2.3) 式.
原因在于 (2.2) 式中的 $\xi$ 是依赖于 $x$ 的,即 $\xi = \xi \left( x\right)$ . 当 $x \rightarrow 0$ 时, $\xi \left( x\right)$ 不一定连续地趋于零,它可以跳跃地取某些值趋于零,而使得 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\cos \frac{1}{\xi \left( x\right) } = 0$ 成为可能,即 (2.2) 式成立. 然而 (2.3) 式中的 $\xi$ 是要求连续地趋于零的, 因此一般说来由 (2.2) 式是推不出 (2.3) 式的.