📝 题目
3.3.14 设 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,且 $\exists m \in N$ ,使得
$$ {\int }_{a}^{b}{x}^{n}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0\;\left( {n = 0,1,\cdots ,m}\right) . $$
求证: $f\left( x\right)$ 在(a, b)内至少有 $m + 1$ 个零点.
💡 答案与解析
### 题目 3.3.13
**题目**：设函数 $f(x)$ 二阶可微，求证：存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $$ \left| \int_a^b f(x) \, dx - (b-a) f\left( \frac{a+b}{2} \right) \right| \le \frac{M_2}{24} (b-a)^3, $$ 其中 $M_2 = \max_{x \in [a,b]} |f''(x)|$。
**证明**：
我们考虑在 $x_0 = \frac{a+b}{2}$ 处对 $f(x)$ 进行带拉格朗日余项的二阶泰勒展开。对于任意 $x \in [a,b]$，存在介于 $x$ 与 $x_0$ 之间的某个 $\eta_x$，使得 $$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{1}{2} f''(\eta_x)(x - x_0)^2. $$
对等式两边在区间 $[a,b]$ 上积分： $$ \int_a^b f(x) dx = f(x_0)(b-a) + f'(x_0) \int_a^b (x-x_0) dx + \frac12 \int_a^b f''(\eta_x)(x-x_0)^2 dx. $$
注意到 $x_0$ 是区间中点，因此 $$ \int_a^b (x-x_0) dx = 0. $$
于是 $$ \int_a^b f(x) dx - (b-a)f(x_0) = \frac12 \int_a^b f''(\eta_x)(x-x_0)^2 dx. $$
取绝对值，并利用 $|f''(\eta_x)| \le M_2$，得 $$ \left| \int_a^b f(x) dx - (b-a)f(x_0) \right| \le \frac{M_2}{2} \int_a^b (x-x_0)^2 dx. $$
计算积分： $$ \int_a^b (x-x_0)^2 dx = \int_{-(b-a)/2}^{(b-a)/2} t^2 dt = \frac{(b-a)^3}{12}. $$
因此 $$ \left| \int_a^b f(x) dx - (b-a)f\left( \frac{a+b}{2} \right) \right| \le \frac{M_2}{2} \cdot \frac{(b-a)^3}{12} = \frac{M_2}{24} (b-a)^3. $$
这里我们并没有显式地写出存在某个 $\xi$，但由积分中值定理（因为 $f''$ 连续），存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $$ \frac12 \int_a^b f''(\eta_x)(x-x_0)^2 dx = \frac{f''(\xi)}{2} \int_a^b (x-x_0)^2 dx, $$ 从而得到等号形式的精确表达式，绝对值不等式自然成立。证毕。
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### 题目 3.3.14
**题目**：设 $f(x) \in C[a,b]$，且存在 $m \in \mathbb{N}$，使得 $$ \int_a^b x^n f(x) dx = 0,\quad n = 0,1,\dots,m. $$ 求证：$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有 $m+1$ 个零点。
**证明**：
用反证法。假设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至多有 $m$ 个零点。由于 $f$ 连续，这些零点将区间分成若干个子区间，在每个子区间上 $f$ 不变号。
考虑多项式 $$ P(x) = \prod_{i=1}^k (x - x_i), $$ 其中 $x_1, x_2, \dots, x_k$ 是 $f$ 在 $(a,b)$ 内的所有零点（若零点有重数，则取一次因式即可），这里 $k \le m$。那么函数 $$ g(x) = f(x) P(x) $$ 在 $(a,b)$ 内不变号（因为 $P(x)$ 在每两个相邻零点之间变号次数恰好与 $f$ 的符号变化匹配，使得乘积保持同号；更严格地说，在每个子区间上 $f$ 符号固定，而 $P(x)$ 的符号也固定，因此乘积不变号，且在端点附近可能为零但不改变符号性质）。
由于 $P(x)$ 是次数 $\le m$ 的多项式，它可以写成 $$ P(x) = \sum_{n=0}^m c_n x^n. $$ 由已知条件， $$ \int_a^b x^n f(x) dx = 0,\quad n=0,1,\dots,m, $$ 因此 $$ \int_a^b P(x) f(x) dx = \sum_{n=0}^m c_n \int_a^b x^n f(x) dx = 0. $$
但 $g(x) = f(x)P(x)$ 在 $(a,b)$ 内不变号且连续，若它不恒为零，则其积分必为正或负，不可能为零。因此 $g(x)$ 必须在 $[a,b]$ 上恒为零。
由 $g(x)=f(x)P(x) \equiv 0$ 且 $P(x)$ 是多项式（至多有限个零点），可知在除去这些零点的区间上 $f(x)=0$，由连续性得 $f(x)\equiv 0$。此时 $f$ 有无限多个零点，当然至少有 $m+1$ 个零点，与假设矛盾。
因此原假设不成立，$f$ 在 $(a,b)$ 内至少有 $m+1$ 个零点。证毕。
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以上为两道题的完整解答。