📝 题目
3. 3.15 设 $S\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}\left| {\cos t}\right| \mathrm{d}t$ .
(1)当 $n$ 为正整数,且 ${n\pi } \leq x < \left( {n + 1}\right) \pi$ 时,证明 ${2n} \leq S\left( x\right) < 2\left( {n + 1}\right)$ ；
(2) 求 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{S\left( x\right) }{x}$ .
💡 答案与解析
3.3.15 (1) 因为 $\left| {\cos x}\right|$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数,在每个周期上积分值相等, 所以
$$ {2n} = {\int }_{0}^{nx}\left| {\cos x}\right| \mathrm{d}x \leq S\left( x\right) < {\int }_{0}^{\left( {n + 1}\right) x}\left| {\cos x}\right| \mathrm{d}x = 2\left( {n + 1}\right) . $$
(2)由用第 (1) 小题结论及夹挤准则,得 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{S\left( x\right) }{x} = \frac{2}{\pi }$ .