📝 题目
3. 3.17 (1) 设 $f\left( x\right)$ 在任一有限区间上可积分,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = l$ . 求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{1}{x}{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = l $$
(2)第(1)小题的逆命题是否成立？如果加上一个条件:“ $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上单调上升”, 第(1)小题的逆命题是否成立?
💡 答案与解析
3. 14 用反证法. 如果 $f\left( x\right)$ 在(a, b)上只有 $m$ 个零点,设其中在左、右邻域内 $f\left( x\right)$ 符号相反的零点个数为 $r$ ,则 $r \leq m$ . 设 $a < {x}_{1} < {x}_{2} < \cdots < {x}_{r} < b$ 是这样的零点. 且不妨设 $f\left( x\right) > 0\left( {\forall x \in \left( {a,{x}_{1}}\right) }\right)$ . 令
$$ p\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\left( {{x}_{1} - x}\right) \left( {{x}_{2} - x}\right) \cdots \left( {{x}_{r} - x}\right) , $$
则有 $f\left( x\right) p\left( x\right) ≢ 0\;\left( {\forall x \in \left( {a,b}\right) }\right) \Rightarrow {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) p\left( x\right) \mathrm{d}x > 0$ .
但是 $p\left( x\right)$ 是 $r\left( {r \leq m}\right)$ 次多项式,设 $p\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{r}{c}_{k}{x}^{k}$ ,则有
$$ {\int }_{a}^{b}f\left( x\right) p\left( x\right) \mathrm{d}x = \mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{r}{c}_{k}{\int }_{a}^{b}{x}^{k}f\left( x\right) \mathrm{d}x = 0, $$
矛盾.
3.3.15 (1) 因为 $\left| {\cos x}\right|$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数,在每个周期上积分值相等, 所以
$$ {2n} = {\int }_{0}^{nx}\left| {\cos x}\right| \mathrm{d}x \leq S\left( x\right) < {\int }_{0}^{\left( {n + 1}\right) x}\left| {\cos x}\right| \mathrm{d}x = 2\left( {n + 1}\right) . $$
(2)由用第 (1) 小题结论及夹挤准则,得 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{S\left( x\right) }{x} = \frac{2}{\pi }$ .
3.3.16 ${f}^{\prime }\left( 0\right)$ . 由于被积函数也含有参数 $a$ ,先作变量代换使得参数 $a$ 只出现在积分限上, 或先用积分中值定理去掉积分号, 使得原式变成函数求极限.
3.3.17 (1) 用洛必达法则,或者用分段论证法: 先证 $l = 0$ 的特殊情况, 此时对 $\forall \varepsilon \in \left( {0,1}\right) ,\exists {X}_{1} > 0$ ,使得 $\left| {f\left( x\right) }\right| < \frac{\varepsilon }{2}$ 对所有的 $x > {X}_{1}$ 成立.
$$ \left| {\frac{1}{x}{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t}\right| \leq \frac{1}{x}{\int }_{0}^{{X}_{1}}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t + \frac{\varepsilon }{2}. $$
对固定的 ${X}_{1}$ ,取 $X > {X}_{1}$ 使得对 $x > X$ ,有
$$ \frac{1}{x}{\int }_{0}^{{X}_{1}}\left| {f\left( t\right) }\right| \mathrm{d}t < \frac{\varepsilon }{2}. $$
对一般情况,令 $g\left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }f\left( x\right) - l$ ,对 $g\left( x\right)$ 用前一情况的结论.
(2)如果不增加另外条件,第(1)小题的逆命题不成立,例如 $f\left( x\right) = \cos x$ .
但是加上一个条件“ $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上单调上升”后,逆命题成立. 事实上,因为
$$ \frac{1}{x}{\int }_{0}^{x}f\left( x\right) \mathrm{d}t = f\left( x\right) = \frac{1}{x}{\int }_{x}^{2x}f\left( x\right) \mathrm{d}x \leq \frac{1}{x}{\int }_{x}^{2x}f\left( t\right) \mathrm{d}t, $$
又
$$ \frac{1}{x}{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t \rightarrow l $$
$$ \frac{1}{x}{\int }_{x}^{2x}f\left( t\right) \mathrm{d}t = 2 \cdot \frac{1}{2x}{\int }_{0}^{2x}f\left( t\right) \mathrm{d}t - \frac{1}{x}{\int }_{0}^{x}f\left( t\right) \mathrm{d}t \rightarrow {2l} - l = l $$
$$ \text{ 由夹挤准则 }\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = l\text{ . } $$
3.