📝 题目
3. 3.18 设 $f\left( x\right) \in C\lbrack 0, + \infty )$ ,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A$ . 求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\int }_{0}^{1}f\left( {nx}\right) \mathrm{d}x = A $$
💡 答案与解析
我们要求证明： $$ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 f(nx) \, dx = A, $$ 其中 $f \in C[0, +\infty)$ 且 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = A$。
**第一步：变量代换** 令 $t = nx$，则 $x = \frac{t}{n}$，$dx = \frac{dt}{n}$。当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $n$。于是 $$ \int_0^1 f(nx) \, dx = \int_0^n f(t) \cdot \frac{1}{n} \, dt = \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt. $$ 因此原极限等价于证明： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt = A. $$
**第二步：利用极限定义分解积分** 已知 $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} f(t) = A$，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > 0$，使得当 $t > M$ 时， $$ |f(t) - A| < \varepsilon. $$ 对于足够大的 $n > M$，我们将积分拆成两部分： $$ \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt = \frac{1}{n} \int_0^M f(t) \, dt + \frac{1}{n} \int_M^n f(t) \, dt. $$
**第三步：分别估计两部分** 第一部分：因为 $f$ 在 $[0, M]$ 上连续，所以有界，设 $|f(t)| \le C$ 对所有 $t \in [0, M]$ 成立。于是 $$ \left| \frac{1}{n} \int_0^M f(t) \, dt \right| \le \frac{1}{n} \cdot C M \to 0 \quad (n \to \infty). $$ 因此存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时，这部分绝对值小于 $\varepsilon$。
第二部分：对 $t \in [M, n]$，有 $|f(t) - A| < \varepsilon$，所以 $$ \frac{1}{n} \int_M^n f(t) \, dt = \frac{1}{n} \int_M^n \big( f(t) - A + A \big) \, dt = \frac{1}{n} \int_M^n (f(t)-A) \, dt + A \cdot \frac{n-M}{n}. $$ 于是 $$ \left| \frac{1}{n} \int_M^n f(t) \, dt - A \right| \le \frac{1}{n} \int_M^n |f(t)-A| \, dt + \left| A \cdot \frac{n-M}{n} - A \right| < \frac{1}{n} \cdot (n-M) \varepsilon + |A| \cdot \frac{M}{n}. $$ 因为 $\frac{n-M}{n} < 1$，所以第一项小于 $\varepsilon$；而第二项 $\frac{|A|M}{n} \to 0$，故存在 $N_2$，当 $n > N_2$ 时它也小于 $\varepsilon$。
**第四步：合并估计** 取 $N = \max(N_1, N_2, M)$，则当 $n > N$ 时， $$ \left| \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt - A \right| \le \left| \frac{1}{n} \int_0^M f(t) \, dt \right| + \left| \frac{1}{n} \int_M^n f(t) \, dt - A \right| < \varepsilon + (\varepsilon + \varepsilon) = 3\varepsilon. $$ 由 $\varepsilon$ 的任意性，即得 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt = A. $$
**第五步：回到原积分** 由第一步的变换，原极限成立： $$ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 f(nx) \, dx = A. $$
这样就完成了证明。