📝 题目
例 3 设 $f\left( x\right)$ 在(a, b)内可导,且 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| < 1$ ,若 $f\left( x\right)$ 在(a, b) 内有实根,而 $\alpha \in \left( {a,b}\right)$ 是根的一个近似值. 求证: $\beta \overset{\text{ 定义 }}{ = }f\left( \alpha \right)$ 是比 $\alpha$ 更好的近似值.
💡 答案与解析
证 设方程 $f\left( x\right) = x$ 的精确根为 ${x}_{0}$ ,则 $f\left( {x}_{0}\right) = {x}_{0}$ ,于是在 $\left\lbrack {\alpha ,{x}_{0}}\right\rbrack$ 上或在 $\left\lbrack {{x}_{0},\alpha }\right\rbrack$ 上用微分中值定理,有
$$ \exists \xi \in \left( {\min \left\{ {{x}_{0},\alpha }\right\} ,\max \left\{ {{x}_{0},\alpha }\right\} }\right) , $$
使得
$$ \left| {\beta - {x}_{0}}\right| = \left| {f\left( \alpha \right) - f\left( {x}_{0}\right) }\right| = \left| {{f}^{\prime }\left( \xi \right) }\right| \left| {\alpha - {x}_{0}}\right| < \left| {\alpha - {x}_{0}}\right| . $$