📝 题目
3.5.3 判别广义积分 $\displaystyle{\int }_{0}^{+\infty }\frac{\arctan {bx} - \arctan {ax}}{x}\mathrm{\;d}x\left( {b > a > 0}\right)$ 的收敛性.
💡 答案与解析
3.5.3 收敛. 记被积函数为 $f\left( x\right)$ ,当 $x \rightarrow 0$ 时, $f\left( x\right) \rightarrow b - a$ ; 当 $x > 1$ 时,
$$ 0 < f\left( x\right) = \frac{1}{x}{\int }_{ax}^{bx}\frac{\mathrm{d}t}{1 + {t}^{2}} \leq \frac{b - a}{{a}^{2}{x}^{2}}. $$