第三章 一元函数积分学 · 第3.5题

### 题目 3.5.6

**题目条件**： 设 $f(x) \le h(x) \le g(x)$，且 $\\displaystyle{\int_a^{+\infty} f(x) \, dx}$ 与 $\\displaystyle{\int_a^{+\infty} g(x) \, dx}$ 收敛。求证：$\\displaystyle{\int_a^{+\infty} h(x) \, dx}$ 收敛。

**证明**：

由已知，两个积分收敛，意味着它们都有有限的极限值。考虑函数 $$ 0 \le h(x) - f(x) \le g(x) - f(x). $$

由于 $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ 和 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 都收敛，它们的差 $$\\displaystyle{ \int_a^{+\infty} (g(x) - f(x)) \, dx }$$ 也收敛（收敛积分相减仍收敛）。

现在 $h(x)-f(x)$ 是非负函数，且被收敛的非负函数 $g(x)-f(x)$ 从上方控制。根据**比较判别法**（非负函数情形），如果 $0 \le u(x) \le v(x)$ 且 $\int v$ 收敛，则 $\int u$ 收敛。因此 $$\\displaystyle{ \int_a^{+\infty} (h(x)-f(x)) \, dx }$$ 收敛。

又因为 $$\\displaystyle{ \int_a^{+\infty} h(x) \, dx = \int_a^{+\infty} f(x) \, dx + \int_a^{+\infty} (h(x)-f(x)) \, dx, }$$ 右边两项均收敛，所以左边收敛。证毕。

**关键步骤说明**： 利用非负函数的比较判别法，将 $h$ 与 $f$ 的差用 $g-f$ 控制，从而得到 $h-f$ 的积分收敛，再与 $f$ 的积分相加即得结论。

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### 题目 3.5.7

**题目条件**： 设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上单调下降，且 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。求证： $$\\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0. }$$

**证明**：

由于 $f$ 单调下降且积分收敛，首先必有 $f(x) \ge 0$ 对充分大的 $x$ 成立（否则若最终为负且递减，积分会发散到 $-\infty$）。实际上，由收敛性可知 $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$。

我们使用反证法或直接估计。对于任意 $x > a$，由单调性，对 $t \in [x/2, x]$ 有 $$ f(t) \ge f(x). $$ 于是 $$\\displaystyle{ \int_{x/2}^{x} f(t) \, dt \ge \int_{x/2}^{x} f(x) \, dt = \frac{x}{2} f(x). }$$

由于 $\int_a^{+\infty} f(t) \, dt$ 收敛，其余项趋于零： $$\\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \int_{x/2}^{+\infty} f(t) \, dt = 0. }$$ 特别地， $$\\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \int_{x/2}^{x} f(t) \, dt = 0. }$$ 因此 $$\\displaystyle{ 0 \le \frac{x}{2} f(x) \le \int_{x/2}^{x} f(t) \, dt \to 0 \quad (x\to\infty). }$$

由夹逼准则得 $$\\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x f(x) = 0. }$$

**关键步骤说明**： 利用单调性将区间 $[x/2, x]$ 上的积分下界用 $x f(x)/2$ 表示，再由积分收敛推出该积分趋于零，从而得到 $x f(x) \to 0$。

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以上即为两道题的完整解答。