方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.5题

题目 3.5.6

题目条件：
设 $f(x) \le h(x) \le g(x)$，且 $\\displaystyle{\int_a^{+\infty} f(x) \, dx}$ 与 $\\displaystyle{\int_a^{+\infty} g(x) \, dx}$ 收敛。求证：$\\displaystyle{\int_a^{+\infty} h(x) \, dx}$ 收敛。

证明：

由已知，两个积分收敛，意味着它们都有有限的极限值。考虑函数
$$
0 \le h(x) - f(x) \le g(x) - f(x).
$$

由于 $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ 和 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 都收敛，它们的差
$$\\displaystyle{
\int_a^{+\infty} (g(x) - f(x)) \, dx
}$$
也收敛（收敛积分相减仍收敛）。

现在 $h(x)-f(x)$ 是非负函数，且被收敛的非负函数 $g(x)-f(x)$ 从上方控制。根据比较判别法（非负函数情形），如果 $0 \le u(x) \le v(x)$ 且 $\int v$ 收敛，则 $\int u$ 收敛。因此
$$\\displaystyle{
\int_a^{+\infty} (h(x)-f(x)) \, dx
}$$
收敛。

又因为
$$\\displaystyle{
\int_a^{+\infty} h(x) \, dx = \int_a^{+\infty} f(x) \, dx + \int_a^{+\infty} (h(x)-f(x)) \, dx,
}$$
右边两项均收敛，所以左边收敛。证毕。

关键步骤说明：
利用非负函数的比较判别法，将 $h$ 与 $f$ 的差用 $g-f$ 控制，从而得到 $h-f$ 的积分收敛，再与 $f$ 的积分相加即得结论。

---

题目 3.5.7

题目条件：
设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上单调下降，且 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。求证：
$$\\displaystyle{
\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 0.
}$$

证明：

由于 $f$ 单调下降且积分收敛，首先必有 $f(x) \ge 0$ 对充分大的 $x$ 成立（否则若最终为负且递减，积分会发散到 $-\infty$）。实际上，由收敛性可知 $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$。

我们使用反证法或直接估计。对于任意 $x > a$，由单调性，对 $t \in [x/2, x]$ 有
$$
f(t) \ge f(x).
$$
于是
$$\\displaystyle{
\int_{x/2}^{x} f(t) \, dt \ge \int_{x/2}^{x} f(x) \, dt = \frac{x}{2} f(x).
}$$

由于 $\int_a^{+\infty} f(t) \, dt$ 收敛，其余项趋于零：
$$\\displaystyle{
\lim_{x\to\infty} \int_{x/2}^{+\infty} f(t) \, dt = 0.
}$$
特别地，
$$\\displaystyle{
\lim_{x\to\infty} \int_{x/2}^{x} f(t) \, dt = 0.
}$$
因此
$$\\displaystyle{
0 \le \frac{x}{2} f(x) \le \int_{x/2}^{x} f(t) \, dt \to 0 \quad (x\to\infty).
}$$

由夹逼准则得
$$\\displaystyle{
\lim_{x\to\infty} x f(x) = 0.
}$$

关键步骤说明：
利用单调性将区间 $[x/2, x]$ 上的积分下界用 $x f(x)/2$ 表示，再由积分收敛推出该积分趋于零，从而得到 $x f(x) \to 0$。

---

以上即为两道题的完整解答。