📝 题目
例 4 设 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在点 $x = a$ 处的右极限存在且有限. 求证: $f\left( x\right)$ 在点 $x = a$ 处的右极限也存在且有限.
💡 答案与解析
证 因为 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a + 0}}{f}^{\prime }\left( x\right)$ 存在且有限,所以存在 $\delta > 0$ ,使得 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 在 $\left( {a,a + {\delta }_{1}}\right)$ 内有界. 设 $\left| {{f}^{\prime }\left( x\right) }\right| \leq M\left( {\forall x \in \left( {a,a + {\delta }_{1}}\right) }\right)$ . 则对任意给定的 $\varepsilon > 0$ ,取 $\displaystyle{\delta = \min \left\{ {\frac{\varepsilon }{M},{\delta }_{1}}\right\}}$ ,根据拉格朗日中值定理,对
$$ \forall {x}_{1},{x}_{2} \in \left( {a,a + \delta }\right) ,\;\exists \xi \in \left( {\min \left\{ {{x}_{1},{x}_{2}}\right\} ,\max \left\{ {{x}_{1},{x}_{2}}\right\} }\right) , $$
使得
$$ \left| \frac{f\left( {x}_{2}\right) - f\left( {x}_{1}\right) }{{x}_{2} - {x}_{1}}\right| = \left| {{f}^{\prime }\left( \xi \right) }\right| \leq M $$
$$ \Rightarrow \left| {f\left( {x}_{2}\right) - f\left( {x}_{1}\right) }\right| \leq M\left| {{x}_{2} - {x}_{1}}\right| \leq \varepsilon . $$
故由柯西收敛原理知 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a + 0}}f\left( x\right)$ 存在且有限.