📝 题目
4. 1.8 设 $0 < {p}_{1} < {p}_{2} < \cdots < {p}_{n} < \cdots$ . 求证: 级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{1}{{p}_{n}}}$ 收敛的充分必要条件为下面的级数收敛:
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{n}{{p}_{1} + {p}_{2} + \cdots + {p}_{n}} $$
💡 答案与解析
4. 1.8 利用上题结论,设 ${a}_{n}\frac{\text{ 定义 }}{}\frac{n}{{p}_{1} + {p}_{2} + \cdots + {p}_{n}}$ ,可证 ${a}_{2n} \leq \frac{2}{{p}_{n}}$ . 4.1.9 (1) 收敛；(2)收敛；(3)收敛；(4)收敛. 4.1.10 (1) 收敛；(2)收敛；(3)收敛；(4)收敛.