📝 题目
4. 1.20 设 $\left\{ {a}_{n}\right\} ,\left\{ {b}_{n}\right\}$ 满足关系式 ${a}_{n + 1} = {b}_{n} - q{a}_{n}\left( {0 < q < 1}\right)$ ,且 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n} = b}$ 存在,证明 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n}}$ 存在.
💡 答案与解析
**题目重述** 已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足递推关系 $$ a_{n+1} = b_n - q a_n, \quad 0 --- ### 第一步：将递推关系转化为显式形式 由 $$ a_{n+1} = b_n - q a_n $$ 我们可以反复代入，得到通项公式。 先写出前几项： $$ a_1 = b_0 - q a_0 $$ $$ a_2 = b_1 - q a_1 = b_1 - q(b_0 - q a_0) = b_1 - q b_0 + q^2 a_0 $$ 一般地，递推下去可得 $$ a_{n} = (-q)^n a_0 + \sum_{k=0}^{n-1} (-q)^{n-1-k} b_k $$ 更整齐地，可以写成 $$ a_n = (-q)^n a_0 + \sum_{j=0}^{n-1} (-q)^{n-1-j} b_j $$ 这可以通过数学归纳法验证。 --- ### 第二步：引入极限 $b$ 并分解 因为 $\\displaystyle{\lim b_n = b}$，我们可以设 $$ b_n = b + \varepsilon_n, \quad \varepsilon_n \to 0. $$ 代入上式： $$ a_n = (-q)^n a_0 + \sum_{j=0}^{n-1} (-q)^{n-1-j} (b + \varepsilon_j) $$ 把常数 $b$ 部分提出来： $$ \sum_{j=0}^{n-1} (-q)^{n-1-j} b = b \cdot \frac{1 - (-q)^n}{1 - (-q)} = b \cdot \frac{1 - (-q)^n}{1+q}. $$ 因此 $$ a_n = (-q)^n a_0 + b \cdot \frac{1 - (-q)^n}{1+q} + \sum_{j=0}^{n-1} (-q)^{n-1-j} \varepsilon_j. $$ --- ### 第三步：分析各项极限 - 由于 $0 - 关键要处理余项 $$ R_n = \sum_{j=0}^{n-1} (-q)^{n-1-j} \varepsilon_j. $$ 令 $k = n-1-j$，则 $$ R_n = \sum_{k=0}^{n-1} (-q)^k \varepsilon_{n-1-k}. $$ 由于 $\varepsilon_m \to 0$，对任意 $\delta>0$，存在 $N$ 使得当 $m>N$ 时 $|\varepsilon_m|<\delta$。 将求和分成两部分：$k$ 从 $0$ 到 $n-1-N-1$ 和剩下的部分。对于足够大的 $n$，第一部分中 $\varepsilon$ 指标大于 $N$，所以每一项绝对值小于 $\delta |q|^k$，其和小于 $\delta/(1-q)$；第二部分是有限项（最多 $N+1$ 项），每项乘以 $|q|^k$ 趋于 0，所以总和趋于 0。因此 $$ \lim_{n\to\infty} R_n = 0. $$ --- ### 第四步：得出极限存在 由以上分析， $$ \lim_{n\to\infty} a_n = 0 + \frac{b}{1+q} + 0 = \frac{b}{1+q}. $$ 极限存在且有限。 --- **结论**： $$ \boxed{\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{b}{1+q}} $$ 因此 $\{a_n\}$ 收敛，极限存在。