方企勤 第四章 级 数 第4.1题

题目：
设序列 $\{a_n\}$ 有界，并满足
$$\\displaystyle{
\lim_{n\to\infty}(a_{2n}+2a_n)=0,
}$$
求证：$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。

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第一步：由条件推导递推关系

由极限条件，对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，有
$$
|a_{2n}+2a_n|<\varepsilon.
$$
即
$$
|a_{2n}+2a_n|<\varepsilon \quad \Rightarrow \quad |a_{2n} + 2a_n|<\varepsilon.
$$

这个关系可以改写成
$$
a_{2n} = -2a_n + \delta_n,
$$
其中 $|\delta_n|<\varepsilon$ 当 $n$ 足够大时。

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第二步：利用有界性得到更精确的估计

设序列有界，即存在 $M>0$ 使得对所有 $n$ 有 $|a_n|\le M$。

我们想证明 $a_n$ 趋于 0，一个常见技巧是反复利用递推关系，把 $a_n$ 表示为越来越小的项加上误差项。

对任意 $n$，反复应用关系式：

从 $a_{2n} = -2a_n + \delta_n$，可得
$$
a_{4n} = -2a_{2n} + \delta_{2n} = -2(-2a_n+\delta_n) + \delta_{2n} = 4a_n -2\delta_n + \delta_{2n}.
$$

继续：
$$
a_{8n} = -2a_{4n} + \delta_{4n} = -2(4a_n -2\delta_n + \delta_{2n}) + \delta_{4n} = -8a_n + 4\delta_n -2\delta_{2n} + \delta_{4n}.
$$

一般地，经过 $k$ 次迭代，得到：
$$\\displaystyle{
a_{2^k n} = (-2)^k a_n + \sum_{j=0}^{k-1} (-2)^{k-1-j} \delta_{2^j n}.
}$$

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第三步：利用有界性控制 $a_n$ 的大小

因为序列有界，所以 $|a_{2^k n}| \le M$ 对所有 $k$ 成立。因此：
$$\\displaystyle{
|(-2)^k a_n| \le M + \sum_{j=0}^{k-1} 2^{k-1-j} |\delta_{2^j n}|.
}$$

当 $n$ 足够大时，所有 $\delta_{2^j n}$ 的绝对值都小于某个 $\varepsilon$（因为 $2^j n \ge n$，所以条件仍然适用）。于是：
$$\\displaystyle{
2^k |a_n| \le M + \varepsilon \sum_{j=0}^{k-1} 2^{k-1-j} = M + \varepsilon (2^k - 1).
}$$

两边除以 $2^k$：
$$
|a_n| \le \frac{M}{2^k} + \varepsilon \left(1 - \frac{1}{2^k}\right).
$$

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第四步：取极限得到结论

先固定 $n$ 足够大，然后令 $k\to\infty$，得到：
$$
|a_n| \le \varepsilon.
$$

因为 $\varepsilon$ 是任意正数，所以 $a_n\to 0$。

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结论：
$$\\displaystyle{
\boxed{\lim_{n\to\infty}a_n=0}
}$$

关键步骤说明：
- 利用递推将 $a_{2^k n}$ 用 $a_n$ 表示，并利用有界性得到关于 $a_n$ 的不等式。
- 通过让迭代次数 $k$ 趋于无穷，消去有界常数 $M$，只剩下任意小的 $\varepsilon$，从而证明 $a_n$ 趋于 0。