方企勤 第四章 级 数 第4.1题
📝 题目
4. 1.24 设 $0 \leq {x}_{n + m} \leq {x}_{n} \cdot {x}_{m}\left( {x,m \in N}\right)$ . 求证: 序列 $\left\{ \sqrt[n]{{x}_{n}}\right\}$ 极限存在.
💡 答案解析
解答
已知条件：
$$
0 \leq x_{n+m} \leq x_n \cdot x_m, \quad \forall n,m \in \mathbb{N}.
$$
要证明序列 $\{\sqrt[n]{x_n}\}$ 的极限存在。
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第一步：证明下界性质
由条件，对任意 $n$，取 $m=1$ 得
$$
x_{n+1} \leq x_n \cdot x_1.
$$
反复应用可得
$$
x_n \leq x_1^n.
$$
因此
$$
\sqrt[n]{x_n} \leq x_1.
$$
又因为 $x_n \ge 0$，所以 $\sqrt[n]{x_n} \ge 0$，故序列有下界 $0$，上界 $x_1$。
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第二步：证明序列的子列极限存在
令
$$
a_n = \ln x_n \quad (\text{若 } x_n=0 \text{ 则视为 } -\infty，但极限情形可单独处理，下面先考虑 } x_n>0)。
$$
条件变为
$$
a_{n+m} \leq a_n + a_m.
$$
这是经典的次可加性条件。由次可加性引理（Fekete 引理），极限
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}
$$
存在（可能为 $\displaystyle{-\infty}$）。
因此
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\ln x_n}{n} = L \in [-\infty, +\infty).
$$
从而
$$
\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{x_n} = e^L
$$
存在（若 $\displaystyle{L=-\infty}$，则极限为 $0$）。
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**第三步：处理 $x_n=0$ 的情况**
若存在某个 $x_k=0$，则由条件
$$
x_{k+m} \leq x_k \cdot x_m = 0,
$$
故对所有 $n \ge k$，有 $x_n=0$。此时 $\sqrt[n]{x_n}=0$ 对充分大的 $n$ 成立，极限显然为 $0$。
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第四步：总结
由 Fekete 引理，次可加序列 $\{\ln x_n\}$ 的算术平均收敛，从而原序列 $\{\sqrt[n]{x_n}\}$ 极限存在。
证毕。
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关键步骤说明
- 核心是将乘法不等式转化为加法不等式，利用次可加性的经典结论（Fekete 引理）。
- 对于零值情况单独处理，避免对数无定义。
- 最终极限值可能为 $0$ 或正数，但存在性得到保证。