📝 题目
4. 1.24 设 $0 \leq {x}_{n + m} \leq {x}_{n} \cdot {x}_{m}\left( {x,m \in N}\right)$ . 求证: 序列 $\left\{ \sqrt[n]{{x}_{n}}\right\}$ 极限存在.
💡 答案与解析
**解答**
已知条件： $$ 0 \leq x_{n+m} \leq x_n \cdot x_m, \quad \forall n,m \in \mathbb{N}. $$ 要证明序列 $\{\sqrt[n]{x_n}\}$ 的极限存在。
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**第一步：证明下界性质** 由条件，对任意 $n$，取 $m=1$ 得 $$ x_{n+1} \leq x_n \cdot x_1. $$ 反复应用可得 $$ x_n \leq x_1^n. $$ 因此 $$ \sqrt[n]{x_n} \leq x_1. $$ 又因为 $x_n \ge 0$，所以 $\sqrt[n]{x_n} \ge 0$，故序列有下界 $0$，上界 $x_1$。
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**第二步：证明序列的子列极限存在** 令 $$ a_n = \ln x_n \quad (\text{若 } x_n=0 \text{ 则视为 } -\infty，但极限情形可单独处理，下面先考虑 } x_n>0)。 $$ 条件变为 $$ a_{n+m} \leq a_n + a_m. $$ 这是经典的次可加性条件。由次可加性引理（Fekete 引理），极限 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n} $$ 存在（可能为 $\displaystyle{-\infty}$）。 因此 $$ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln x_n}{n} = L \in [-\infty, +\infty). $$ 从而 $$ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{x_n} = e^L $$ 存在（若 $\displaystyle{L=-\infty}$，则极限为 $0$）。
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**第三步：处理 $x_n=0$ 的情况** 若存在某个 $x_k=0$，则由条件 $$ x_{k+m} \leq x_k \cdot x_m = 0, $$ 故对所有 $n \ge k$，有 $x_n=0$。此时 $\sqrt[n]{x_n}=0$ 对充分大的 $n$ 成立，极限显然为 $0$。
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**第四步：总结** 由 Fekete 引理，次可加序列 $\{\ln x_n\}$ 的算术平均收敛，从而原序列 $\{\sqrt[n]{x_n}\}$ 极限存在。 证毕。
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**关键步骤说明** - 核心是将乘法不等式转化为加法不等式，利用次可加性的经典结论（Fekete 引理）。 - 对于零值情况单独处理，避免对数无定义。 - 最终极限值可能为 $0$ 或正数，但存在性得到保证。