📝 题目
4. 2.1 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性:
(1) ${f}_{n}\left( x\right) = \frac{{x}^{n}}{1 + {x}^{n}}$ , i) $0 \leq x \leq b < 1$ ; ii) $0 \leq x \leq 1$ ; iii) $\displaystyle{1 < a \leq x < + \infty}$ .
(2) ${f}_{n}\left( x\right) = \frac{1}{n}\ln \left( {1 + {\mathrm{e}}^{-{nx}}}\right)$ , i) $x \geq 0$ ; ii) $x < 0$ .
💡 答案与解析
4. 2.1 (1) 当 $0 \leq x \leq b$ 时, ${f}_{n}\left( x\right) \overset{\text{ 一致 }}{ \rightarrow }0$ ; 当 $0 \leq x \leq 1$ 时,不一致收敛; 当 $\displaystyle{a \leq x < + \infty}$ 时, ${f}_{n}\left( x\right) \overset{\text{ 一致 }}{ \rightarrow }1$ .
(2)在 $\displaystyle{- \infty < x < + \infty}$ 上 ${f}_{n}\left( x\right) \overset{-\text{ 致 }}{ \rightarrow }\frac{\left| x\right| - x}{2}$ .