📝 题目
例 7 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上连续,在(0,1)上可导,
$$ f\left( 0\right) = f\left( 1\right) = 0,\;f\left( \frac{1}{2}\right) = 1. $$
求证: $\exists \xi \in \left( {0,1}\right)$ ,使得 ${f}^{\prime }\left( \xi \right) = 1$ .
分析 只要找到 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的一个子区间,在这个区间上曲线 $y =$ $f\left( x\right)$ 所对的弦的斜率为 1,然后在这个区间上用拉格朗日中值定理即可得证. 这个区间也就是我们所说的辅助区间. 注意到这样的弦应该在直线 $y = x$ 上,所以考虑直线 $y = x$ 与 $y = f\left( x\right)$ 是否有交点. 也就是说,辅助区间构造的成功与否归结为函数 $f\left( x\right) - x$ 的零点存在问题.
💡 答案与解析
证 令 $F\left( x\right) = f\left( x\right) - x$ ,则
$$ \left. \begin{array}{l} F\left( \frac{1}{2}\right) = f\left( \frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0 \\ F\left( 1\right) = f\left( 1\right) - 1 = - 1 < 0 \end{array}\right\} $$
$$ \Rightarrow \exists \eta \in \left( {\frac{1}{2},1}\right) \text{ ,使 }F\left( \eta \right) = 0\text{ ,即 }f\left( \eta \right) = \eta \text{ . } $$
因为 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {0,\eta }\right\rbrack$ 上连续,在 $\left( {0,\eta }\right)$ 内可导,所以在 $\left\lbrack {0,\eta }\right\rbrack$ 上用拉格朗日中值定理,则 $\exists \xi \in \left( {0,\eta }\right)$ ,使得
$$ {f}^{\prime }\left( \xi \right) = \frac{f\left( \eta \right) - f\left( 0\right) }{\eta - 0} = \frac{\eta - 0}{\eta - 0} = 1. $$