方企勤 第四章 级 数 第4.3题

4.3.4 求下列级数的和

#### (1) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n! 2^n} x^n}$

解答步骤：

首先，将级数拆分成两个部分：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n! 2^n} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n! 2^n} x^n + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n! 2^n} x^n
$$
注意 $\frac{n}{n!} = \frac{1}{(n-1)!}$，所以：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n! 2^n} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-1)!} \left(\frac{x}{2}\right)^n
$$
令 $m = n-1$，则：
$$
= \frac{x}{2} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{m!} \left(\frac{x}{2}\right)^m = \frac{x}{2} e^{x/2}
$$
第二部分：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n! 2^n} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left(\frac{x}{2}\right)^n = e^{x/2} - 1
$$
因此，原级数和为：
$$
\frac{x}{2} e^{x/2} + e^{x/2} - 1 = e^{x/2}\left(1 + \frac{x}{2}\right) - 1
$$

答案：
$$
\boxed{e^{x/2}\left(1+\frac{x}{2}\right)-1}
$$

---

#### (2) $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}}$

解答步骤：

考虑函数：
$$
S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n+1}}{4n+1}
$$
对 $x$ 求导：
$$
S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^{4n} = \frac{1}{1-x^4}, \quad |x|<1
$$
积分得：
$$
S(x) = \int_0^x \frac{dt}{1-t^4}
$$
利用部分分式：
$$
\frac{1}{1-t^4} = \frac{1}{2(1-t^2)} + \frac{1}{2(1+t^2)}
$$
更精确地：
$$
\frac{1}{1-t^4} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} + \frac{2}{1+t^2} \right)
$$
积分：
$$
\int_0^x \frac{dt}{1-t} = -\ln(1-x),\quad \int_0^x \frac{dt}{1+t} = \ln(1+x),\quad \int_0^x \frac{2}{1+t^2} dt = 2\arctan x
$$
因此：
$$
S(x) = \frac{1}{4}\left( -\ln(1-x) + \ln(1+x) + 2\arctan x \right) = \frac{1}{4}\ln\frac{1+x}{1-x} + \frac{1}{2}\arctan x
$$

答案：
$$
\boxed{\frac14 \ln\frac{1+x}{1-x} + \frac12 \arctan x}
$$

---

#### (3) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1}}$

解答步骤：

已知：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x|<1
$$
求导一次：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}
$$
再求导一次：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} = \frac{2}{(1-x)^3}
$$
但我们要求的是 $\displaystyle{\sum n^2 x^{n-1}}$。注意：
$$
n^2 = n(n-1) + n
$$
所以：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n-1} + \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}
$$
第一项：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n-1} = x \sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) x^{n-2} = x \cdot \frac{2}{(1-x)^3}
$$
第二项就是 $\frac{1}{(1-x)^2}$。因此：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{2x}{(1-x)^3} + \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{2x + (1-x)}{(1-x)^3} = \frac{1+x}{(1-x)^3}
$$

答案：
$$
\boxed{\frac{1+x}{(1-x)^3}}
$$

---

4.3.5 求下列级数的和

#### (1) $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n}}$

解答步骤：

拆开：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}
$$
已知：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1
$$
以及：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2},\quad |x|<1
$$
令 $x = \frac12$：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{1/2}{(1-1/2)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2
$$
所以：
$$
2 \times 2 - 1 = 3
$$

答案：
$$
\boxed{3}
$$

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#### (2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)}$

解答步骤：

部分分式：
$$
\frac{1}{n(2n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1}
$$
所以：
$$
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(2n+1)} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - 2\sum_{n=1}^N \frac{1}{2n+1}
$$
令 $\displaystyle{S_N = \sum_{k=1}^{2N+1} \frac{1}{k}}$，则：
$$
\sum_{n=1}^N \frac{1}{2n+1} = S_{2N+1} - 1 - \frac12 \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}
$$
代入得：
$$
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(2n+1)} = H_N - 2\left( H_{2N+1} - 1 - \frac12 H_N \right) = H_N - 2H_{2N+1} + 2 + H_N
$$
$$
= 2H_N - 2H_{2N+1} + 2
$$
当 $\displaystyle{N\to\infty}$，利用 $H_N = \ln N + \gamma + o(1)$，$H_{2N+1} = \ln(2N+1) + \gamma + o(1)$，得：
$$
2\ln N - 2\ln(2N) + 2 = 2\ln\frac{N}{2N} + 2 = 2\ln\frac12 + 2 = 2 - 2\ln 2
$$

答案：
$$
\boxed{2 - 2\ln 2}
$$

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#### (3) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(2n+1)}$

解答步骤：

考虑函数：
$$
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(2