方企勤 第四章 级 数 第4.4题

## 4.4.1 正交性证明

(1) $\\displaystyle{\{ \cos nx \}_{n=0}^{\infty}}$ 在 $[0,\pi]$ 上正交

证明：
对于 $m \neq n$，计算内积：
$$\\displaystyle{
\int_0^\pi \cos(mx) \cos(nx) \, dx
= \frac12 \int_0^\pi [\cos((m+n)x) + \cos((m-n)x)]\, dx
}$$
由于 $m \pm n$ 是整数且非零，所以
$$\\displaystyle{
\int_0^\pi \cos(kx)\, dx = \frac{\sin(k\pi)}{k} = 0, \quad k \neq 0
}$$
因此积分值为 0。
当 $m=n=0$ 时：
$$\\displaystyle{
\int_0^\pi 1^2 \, dx = \pi
}$$
当 $m=n>0$ 时：
$$\\displaystyle{
\int_0^\pi \cos^2(nx)\, dx = \frac{\pi}{2}
}$$
所以它们是正交系。

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(2) $\{ \sin nx \}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,\pi]$ 上正交

证明：
对于 $m \neq n$：
$$\\displaystyle{
\int_0^\pi \sin(mx) \sin(nx)\, dx
= \frac12 \int_0^\pi [\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x)]\, dx = 0
}$$
当 $m=n$ 时：
$$\\displaystyle{
\int_0^\pi \sin^2(nx)\, dx = \frac{\pi}{2}
}$$
故正交。

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(3) 在 $[-l,l]$ 上的三角函数系正交

证明：
考虑函数 $\displaystyle 1, \cos\frac{\pi x}{l}, \sin\frac{\pi x}{l}, \dots$
利用变量代换 $\displaystyle t = \frac{\pi x}{l}$，则 $x \in [-l,l]$ 对应 $t \in [-\pi,\pi]$，且 $\displaystyle dx = \frac{l}{\pi} dt$。
于是积分变为常数倍的标准三角函数在 $[-\pi,\pi]$ 上的正交性，结论成立。

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## 4.4.2 傅里叶级数展开

(1) $f(x)=\sin^4 x$ 在 $[-\pi,\pi]$

利用三角恒等式：
$$
\sin^4 x = \left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2
= \frac14(1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x)
$$
而 $\displaystyle \cos^2 2x = \frac{1+\cos 4x}{2}$，代入得：
$$
\sin^4 x = \frac14\left(1 - 2\cos 2x + \frac12 + \frac12\cos 4x\right)
= \frac38 - \frac12\cos 2x + \frac18\cos 4x
$$
这就是它的傅里叶级数（只有有限项）。

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(2) $f(x)=\sec x$ 在 $[-\pi,\pi]$

注意 $\sec x$ 在 $\displaystyle x=\pm \frac{\pi}{2}$ 处无定义且发散，因此不能展开成通常的傅里叶级数（不满足收敛条件）。
所以本题无解或需说明不可展开。

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(3) $\displaystyle f(x)=\sin\frac{x}{2}$ 在 $[-\pi,\pi]$

它是奇函数，所以只有正弦项：
$$\\displaystyle{
b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin\frac{x}{2} \sin(nx)\, dx
}$$
利用积化和差：
$$
\sin\frac{x}{2}\sin(nx) = \frac12\left[\cos\left((n-\frac12)x\right) - \cos\left((n+\frac12)x\right)\right]
$$
积分：
$$\\displaystyle{
\int_0^\pi \cos(kx)\,dx = \frac{\sin(k\pi)}{k}
}$$
因此：
$$
b_n = \frac{1}{\pi}\left[ \frac{\sin((n-\frac12)\pi)}{n-\frac12} - \frac{\sin((n+\frac12)\pi)}{n+\frac12} \right]
$$
注意 $\displaystyle \sin((n\pm\frac12)\pi) = (-1)^n$，所以：
$$
b_n = \frac{1}{\pi}\left[ \frac{(-1)^n}{n-\frac12} - \frac{(-1)^n}{n+\frac12} \right]
= \frac{(-1)^n}{\pi} \cdot \frac{1}{(n-\frac12)(n+\frac12)}
= \frac{(-1)^n}{\pi} \cdot \frac{4}{4n^2-1}
$$
因此：
$$\\displaystyle{
\sin\frac{x}{2} = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{4n^2-1} \sin(nx)
}$$

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(4) $f(x)=|\sin x|$ 在 $[-\pi,\pi]$

它是偶函数，所以只有余弦项和常数项。
$\displaystyle a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x\, dx = \frac{4}{\pi}$
对于 $n\ge 1$：
$$\\displaystyle{
a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x \cos(nx)\, dx
}$$
利用积化和差：
$$
\sin x \cos(nx) = \frac12[\sin((n+1)x) - \sin((n-1)x)]
$$
积分得：
$$\\displaystyle{
\int_0^\pi \sin(kx)\,dx = \frac{1 - (-1)^k}{k}
}$$
所以：
$$
a_n = \frac{1}{\pi}\left[ \frac{1-(-1)^{n+1}}{n+1} - \frac{1-(-1)^{n-1}}{n-1} \right]
$$
当 $n$ 为奇数时，$(-1)^{n+1}=1$，$(-1)^{n-1}=1$，分子为0，所以 $a_n=0$。
当 $n$ 为偶数，设 $n=2m$，则：
$$
a_{2m} = \frac{1}{\pi}\left[ \frac{2}{2m+1} - \frac{2}{2m-1} \right]
= \frac{2}{\pi} \cdot \frac{-2}{(2m+1)(2m-1)}
= -\frac{4}{\pi(4m^2-1)}
$$
因此：
$$\\displaystyle{
|\sin x| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{m=1}^\infty \frac{\cos(2mx)}{4m^2-1}
}$$

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## 4.4.3 $f(x)=|x|$ 在 $[-\pi,\pi]$

偶函数，所以只有余弦项：
$$\\displaystyle{
a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x\, dx = \pi
}$$
$$\\displaystyle{
a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \cos(nx)\, dx
}$$
分部积分：
$$\\displaystyle{
\int x\cos(nx)\,dx = \frac{x\sin(nx)}{n} + \frac{\cos(nx)}{n^2}
}$$
代入上下限 $0,\pi$：
$$
a_n = \frac{2}{\pi}\left[ \frac{\pi\sin(n\pi)}{n} + \frac{\cos(n\pi)-1}{n^2} \right]
= \frac{2}{\pi}\cdot \frac{(-1)^n - 1}{n^2}
$$
当 $n$ 为偶数时 $a_n=0$；当 $n$ 为奇数 $n=2k-1$ 时：
$$
a_{2k-1} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{-2}{(2k-1)^2} = -\frac{4}{\pi(2k-1)^2}
$$
所以：
$$\\displaystyle{
|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2}
}$$

求和

(1) 令 $x=0$：
$$\\displaystyle{
0 = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2}
}$$
得：
$$\\displaystyle{
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}
}$$

(2) 已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$。

(3) 令 $x=\pi$：
$$
\pi = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^