📝 题目
5. 1.13 确定并画出下列函数的定义域, 指出后两题的等位面是什么曲面 (或曲线):
(1) $u = \sqrt{1 - {x}^{2}} + \sqrt{1 - {y}^{2}}$ ; (2) $u = \sqrt{\frac{{2x} - {x}^{2} - {y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2} - x}}$ ;
(3) $u = \arcsin \frac{y}{x}$ ; (4) $u = \ln \left( {-1 - {x}^{2} - {y}^{2} + {z}^{2}}\right)$ .
💡 答案与解析
5. 1.13 (1) 定义域为闭正方形: $\left| x\right| \leq 1,\left| y\right| \leq 1$ ;
(2)定义域为两圆 ${\left( x - 1\right) }^{2} + {y}^{2} = 1,{\left( x - \frac{1}{2}\right) }^{2} + {y}^{2} = {\left( \frac{1}{2}\right) }^{2}$ 之间的月牙形区域 (不包括小圆圆周)；
(3)定义域由直线 $y = \pm x$ 围成的且包含 $x$ 轴的一对对顶角,(0,0)点除外. 等位线为
$$ y = \sin {cx}\;\left( {\left| c\right| \leq \frac{\pi }{2}}\right) ; $$
(4)定义域为双叶双曲面 ${x}^{2} + {y}^{2} - {z}^{2} = - 1$ 所围的上下两个开区域,等位面为双叶双曲面
$$ {x}^{2} + {y}^{2} - {z}^{2} = - 1 - {\mathrm{e}}^{c}\;\left( {-\infty < c < + \infty }\right) . $$