📝 题目
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5.1.17 设函数 $f\left( {x,y}\right)$ 在开半平面 $x > 0$ 上连续,且对 $\forall {y}_{0}$ ,极限
$$ \mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow {0}^{ + }} \\ {y \rightarrow {y}_{0}} }}f\left( {x,y}\right) = \varphi \left( {y}_{0}\right) $$
存在. 当函数 $f$ 在 $y$ 轴上补充定义 $\varphi \left( y\right)$ 后,证明: 函数 $f\left( {x,y}\right)$ 在闭半平面 $x \geq 0$ 上连续.
💡 答案与解析
题目要求证明：将 $f(x,y)$ 在 $x=0$ 处补充定义为 $\varphi(y)$ 后，$f$ 在闭半平面 $x \ge 0$ 上连续。
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**证明步骤：**
1. **已知条件回顾** 已知 $f(x,y)$ 在 $x > 0$ 上连续，且对任意 $y_0$，有 $$ \lim_{\substack{x \to 0^+ \\ y \to y_0}} f(x,y) = \varphi(y_0). $$ 现在补充定义：当 $x = 0$ 时，令 $f(0,y) = \varphi(y)$。 我们要证明：对任意 $(x_0, y_0)$ 满足 $x_0 \ge 0$，$f$ 在该点连续。
2. **分情况讨论连续性** 连续性需要分两种情形： - 情形 A：$x_0 > 0$（内点） - 情形 B：$x_0 = 0$（边界点）
3. **情形 A：$x_0 > 0$** 由于 $x_0 > 0$，存在一个邻域完全落在 $x>0$ 的开半平面内。已知 $f$ 在 $x>0$ 上连续，因此 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 处连续。 所以这种情况已经满足。
4. **情形 B：$x_0 = 0$** 设 $(0, y_0)$ 为边界上的任意一点。我们需要证明： $$ \lim_{(x,y) \to (0,y_0),\, x \ge 0} f(x,y) = f(0,y_0) = \varphi(y_0). $$ 由已知条件，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $$ 0 < x < \delta_1,\quad |y - y_0| < \delta_1 $$ 时，有 $$ |f(x,y) - \varphi(y_0)| < \varepsilon. $$ 这里要注意：已知极限是当 $x \to 0^+$ 且 $y \to y_0$ 时成立，所以上述 $\delta_1$ 存在。
另外，我们需要考虑 $x=0$ 附近且 $x=0$ 本身的情况。当 $x=0$ 时，$f(0,y) = \varphi(y)$。 由 $\varphi(y_0)$ 的定义，它是 $f(x,y)$ 在 $(0,y_0)$ 处的极限，但 $\varphi$ 本身作为 $y$ 的函数是否连续？ 实际上，我们可以证明 $\varphi$ 是连续的：对任意 $y_1$，取 $x$ 足够小，利用 $f$ 在 $x>0$ 连续以及极限条件，可以用 $\varepsilon/3$ 方法证明 $\varphi$ 在 $y_0$ 连续。但这里更直接的方法是： 对 $\varepsilon > 0$，由极限定义存在 $\delta_2 > 0$ 使得当 $|y - y_0| < \delta_2$ 时，取一个固定的充分小的 $x$（比如 $x=\delta_1/2$），有 $$ |f(x,y) - \varphi(y)| < \varepsilon/3,\quad |f(x,y) - \varphi(y_0)| < \varepsilon/3, $$ 从而 $$ |\varphi(y) - \varphi(y_0)| < \varepsilon. $$ 所以 $\varphi$ 在 $y_0$ 连续。
因此，存在 $\delta_3 > 0$，使得当 $|y - y_0| < \delta_3$ 时， $$ |\varphi(y) - \varphi(y_0)| < \varepsilon. $$
5. **综合估计** 取 $\\displaystyle{\delta = \min(\delta_1, \delta_3)}$。 现在考虑任意 $(x,y)$ 满足 $0 \le x < \delta$ 且 $|y - y_0| < \delta$。分两种情况： - 若 $x > 0$：由 $\delta \le \delta_1$ 得 $|f(x,y) - \varphi(y_0)| < \varepsilon$。 - 若 $x = 0$：则 $|f(0,y) - \varphi(y_0)| = |\varphi(y) - \varphi(y_0)| < \varepsilon$（因为 $\delta \le \delta_3$）。
因此，对所有满足 $|(x,y) - (0,y_0)| < \delta$ 且 $x \ge 0$ 的点，都有 $$ |f(x,y) - f(0,y_0)| < \varepsilon. $$ 这就证明了 $f$ 在 $(0,y_0)$ 连续。
6. **结论** 综合情形 A 和 B，$f$ 在闭半平面 $x \ge 0$ 上每一点都连续。证毕。
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**关键步骤说明**： - 利用已知极限条件直接处理 $x>0$ 趋近于边界点的情况。 - 补充定义后，还需要验证 $\varphi(y)$ 本身连续，以保证 $x=0$ 上的点之间的连续性。 - 取 $\delta$ 为两个条件中较小的，统一控制 $x>0$ 和 $x=0$ 两种情形。