📝 题目
例 14 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,在(a, b)内可导, $f\left( a\right) = f\left( b\right)$ , 且 $f\left( x\right)$ 不恒为常数. 求证: 存在 $\xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得 ${f}^{\prime }\left( \xi \right) > 0$ .
💡 答案与解析
证 用反证法. 若 $\forall x \in \left( {a,b}\right)$ 都有 ${f}^{\prime }\left( x\right) \leq 0$ ,则 $f\left( x\right)$ 在(a, b) 内单调下降. 因此
$$ \forall x \in \left( {a,b}\right) \Rightarrow f\left( a\right) \geq f\left( x\right) \geq f\left( b\right) $$
$$ \because f\left( a\right) = f\left( b\right) \;f\left( x\right) = f\left( a\right) , $$
即 $f\left( x\right) \equiv f\left( a\right)$ ,与 $f\left( x\right)$ 不恒为常数矛盾. 从而存在 $\xi \in \left( {a,b}\right)$ ,使得
$$ {f}^{\prime }\left( \xi \right) > 0\text{ . } $$