📝 题目
例 16 设 $a,b,c$ 为实数. 求证: 方程 ${\mathrm{e}}^{x} = a{x}^{2} + {bx} + c$ 的根不超过三个.
💡 答案与解析
证 用反证法. 假设方程有四个不同的根 ${x}_{i}\left( {i = 1,2,3,4}\right)$ ,那么函数 $f\left( x\right) \frac{\text{ 定义 }}{}{\mathrm{e}}^{x} - a{x}^{2} - {bx} - c$ 有四个不同的零点 ${x}_{i}\left( {i = 1,2,3,4}\right)$ . 应用罗尔定理肯定:函数 ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 有三个不同的零点; 函数 ${f}^{\prime \prime }\left( x\right)$ 有两个不同的零点; 函数 ${f}^{\prime \prime \prime }\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}$ 有一个零点. 然而已知函数 ${\mathrm{e}}^{x}$ 无零点, 这便产生矛盾. 这矛盾说明反证法假设不成立, 即方程至多只有三个根.