方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.3题

题目要求证明：若 $z = z(x,y)$ 满足
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right)^2 = 0,
$$
那么将 $y$ 视为 $x$ 和 $z$ 的函数时，它也满足同样形式的方程：
$$
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 y}{\partial z^2} - \left( \frac{\partial^2 y}{\partial x \partial z} \right)^2 = 0.
$$

---

第一步：明确变量关系与记号

已知 $z = z(x,y)$，且假设在某个区域内 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} \neq 0$，这样我们可以将 $y$ 反解为 $x$ 和 $z$ 的函数 $y = y(x,z)$。
我们记：
- 对于 $z$ 作为 $x,y$ 的函数，偏导记为 $z_x, z_y, z_{xx}, z_{xy}, z_{yy}$。
- 对于 $y$ 作为 $x,z$ 的函数，偏导记为 $y_x, y_z, y_{xx}, y_{xz}, y_{zz}$。

---

第二步：建立一阶偏导的关系

由 $y = y(x,z)$ 和 $z = z(x,y)$ 互为反函数关系（固定 $x$ 时 $y$ 与 $z$ 一一对应），我们有恒等式：
$$
z(x, y(x,z)) \equiv z.
$$
对 $x$ 求偏导（注意 $y$ 依赖于 $x$）：
$$
\frac{\partial}{\partial x} \big[ z(x, y(x,z)) \big] = z_x + z_y \cdot y_x = 0,
$$
因为右边 $z$ 对 $x$ 的偏导为 $0$（$z$ 本身作为第二个变量是常数）。
所以得到：
$$
y_x = -\frac{z_x}{z_y}. \tag{1}
$$

再对 $z$ 求偏导（此时 $x$ 固定）：
$$
\frac{\partial}{\partial z} \big[ z(x, y(x,z)) \big] = z_y \cdot y_z = 1,
$$
因此：
$$
y_z = \frac{1}{z_y}. \tag{2}
$$

---

第三步：计算二阶偏导 $y_{xx}, y_{xz}, y_{zz}$

我们从 (1) 出发，$\displaystyle y_x = - \frac{z_x}{z_y}$，注意 $z_x, z_y$ 是 $x,y$ 的函数，而 $y$ 又是 $x,z$ 的函数。

**计算 $y_{xx}$**：
对 $x$ 再求一次偏导：
$$
y_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{z_x}{z_y} \right)
= - \frac{ (z_{xx} + z_{xy} y_x) z_y - z_x (z_{yx} + z_{yy} y_x) }{z_y^2}.
$$
代入 $y_x = -z_x / z_y$，并利用 $z_{xy}=z_{yx}$，得：
分子第一项：$(z_{xx} + z_{xy}(-z_x/z_y)) z_y = z_{xx}z_y - z_{xy}z_x$。
分子第二项：$\displaystyle z_x (z_{xy} + z_{yy}(-z_x/z_y)) = z_x z_{xy} - \frac{z_x^2 z_{yy}}{z_y}$。
所以分子为：
$$
(z_{xx}z_y - z_{xy}z_x) - \left( z_x z_{xy} - \frac{z_x^2 z_{yy}}{z_y} \right)
= z_{xx}z_y - 2 z_{xy}z_x + \frac{z_x^2 z_{yy}}{z_y}.
$$
因此：
$$
y_{xx} = - \frac{ z_{xx}z_y - 2 z_{xy}z_x + \frac{z_x^2 z_{yy}}{z_y} }{z_y^2}
= -\frac{z_{xx}}{z_y} + \frac{2 z_{xy}z_x}{z_y^2} - \frac{z_x^2 z_{yy}}{z_y^3}. \tag{3}
$$

**计算 $y_{xz}$**：
对 $z$ 求 (1) 的偏导：
$$
y_{xz} = \frac{\partial}{\partial z} \left( -\frac{z_x}{z_y} \right)
= - \frac{ (z_{xy} y_z) z_y - z_x (z_{yy} y_z) }{z_y^2}.
$$
代入 $y_z = 1/z_y$：
分子：$\displaystyle (z_{xy}/z_y) z_y - z_x (z_{yy}/z_y) = z_{xy} - \frac{z_x z_{yy}}{z_y}$。
所以：
$$
y_{xz} = - \frac{ z_{xy} - \frac{z_x z_{yy}}{z_y} }{z_y^2}
= -\frac{z_{xy}}{z_y^2} + \frac{z_x z_{yy}}{z_y^3}. \tag{4}
$$

**计算 $y_{zz}$**：
对 $z$ 求 (2) 的偏导：
$$
y_{zz} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{1}{z_y} \right)
= - \frac{ z_{yy} y_z }{z_y^2}
= - \frac{ z_{yy} \cdot (1/z_y) }{z_y^2}
= -\frac{z_{yy}}{z_y^3}. \tag{5}
$$

---

第四步：代入目标表达式并化简

我们要验证：
$$
y_{xx} y_{zz} - (y_{xz})^2 = 0.
$$

将 (3)、(5) 代入第一项：
$$
y_{xx} y_{zz} = \left( -\frac{z_{xx}}{z_y} + \frac{2 z_{xy}z_x}{z_y^2} - \frac{z_x^2 z_{yy}}{z_y^3} \right) \cdot \left( -\frac{z_{yy}}{z_y^3} \right).
$$
乘开：
$$
= \frac{z_{xx} z_{yy}}{z_y^4} - \frac{2 z_{xy} z_x z_{yy}}{z_y^5} + \frac{z_x^2 z_{yy}^2}{z_y^6}. \tag{6}
$$

将 (4) 平方得第二项：
$$
(y_{xz})^2 = \left( -\frac{z_{xy}}{z_y^2} + \frac{z_x z_{yy}}{z_y^3} \right)^2
= \frac{z_{xy}^2}{z_y^4} - \frac{2 z_{xy} z_x z_{yy}}{z_y^5} + \frac{z_x^2 z_{yy}^2}{z_y^6}. \tag{7}
$$

现在计算 (6) 减 (7)：
$$
y_{xx}y_{zz} - (y_{xz})^2 =
\left( \frac{z_{xx} z_{yy}}{z_y^4} - \frac{2 z_{xy} z_x z_{yy}}{z_y^5} + \frac{z_x^2 z_{yy}^2}{z_y^6} \right)
- \left( \frac{z_{xy}^2}{z_y^4} - \frac{2 z_{xy} z_x z_{yy}}{z_y^5} + \frac{z_x^2 z_{yy}^2}{z_y^6} \right).
$$

可见后两项完全抵消，只剩下：
$$
= \frac{z_{xx} z_{yy} - z_{xy}^2}{z_y^4}.
$$

由已知条件 $z_{xx} z_{yy} - (z_{xy})^2 = 0$，因此分子为 $0$，故整个表达式为 $0$。

---

第五步：结论

因此我们证明了：
$$
\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 y}{\partial z^2} - \left( \frac{\partial^2 y}{\partial x \partial z} \right)^2 = 0,
$$
即 $y$ 作为 $x,z$ 的函数也满足同样形状的方程。证毕。