第1章

1-1-1 📝 有解析

第1-1-1题

1．求下列函数的自然定义域： （1）$y=\sqrt{3 x+2}$ ； （2）$y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ； （3）$y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^{2}}$ ； （4）$y=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$ ； （5）$y=\sin \sqrt{x}$ ； （6）$y=\tan (x+1)$ ； （7）$y=\arcsin (x-3)$ ； （8）$y=\sqrt{3-x}+\arctan \frac{1}{x}$ ； （9）$y=\ln (x+1)$ ； （10）$y=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ ．

1-1-10 📝 有解析

第1-1-10题

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）$y=\cos (x-2)$ ； （2）$y=\cos 4 x$ ； （3）$y=1+\sin \pi x$ ； （4）$y=x \cos x$ ； （5）$y=\sin ^{2} x$ ．

1-1-11 📝 有解析

第1-1-11题

11．求下列函数的反函数： （1）$y=\sqrt[3]{x+1}$ ； （2）$y=\frac{1-x}{1+x}$ ； （3）$y=\frac{a x+b}{c x+d}(a d-b c \neq 0)$ ； （4）$y=2 \sin 3 x\left(-\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$ ； （5）$y=1+\ln (x+2)$ ； （6）$y=\frac{2^{x}}{2^{x}+1}$ ．

1-1-12 📝 有解析

第1-1-12题

12．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求该函数分别对应于给定自变量值 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的函数值： （1）$y=u^{2}, u=\sin x, x_{1}=\frac{\pi}{6}, x_{2}=\frac{\pi}{3}$ ； （2）$y=\sin u, u=2 x, x_{1}=\frac{\pi}{8}, x_{2}=\frac{\pi}{4}$ ； （3）$y=\sqrt{u}, u=1+x^{2}, x_{1}=1, x_{2}=2$ ； （4）$y=\mathrm{e}^{u}, u=x^{2}, x_{1}=0, x_{2}=1$ ； （5）$y=u^{2}, u=\mathrm{e}^{x}, x_{1}=1, x_{2}=-1$ ．

1-1-13 📝 有解析

第1-1-13题

13．设 $f(x)$ 的定义域 $D=[0,1]$ ，求下列各函数的定义域： （1）$f\left(x^{2}\right)$ ； （2）$f(\sin x)$ ； （3）$f(x+a)(a\gt 0)$ ； （4）$f(x+a)+f(x-a)(a\gt 0)$ ．

1-1-14 📝 有解析

第1-1-14题

14．设 $$ f(x)= \begin{cases}1, & |x|\lt 1 \\ 0, & |x|=1, \quad g(x)=\mathrm{e}^{x} \\ -1, & |x|\gt 1\end{cases} $$ 求 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ ，并作出这两个函数的图形．

1-1-15 📝 有解析

第1-1-15题

15．已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 $\varphi=40^{\circ}$（图1－20）．当过水断面 $A B C D$ 的面积为定值 $S_{0}$时，求湿周 $L(L=A B+B C+C D)$ 与水深 $h$ 之间的函数关系式，并指明其定义域． <img src="/static/img/textbook/64930cde82b2.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

1-1-16 📝 有解析

第1-1-16题

16．设 $x O y$ 平面上有正方形 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 及直线 $l: x+y=t(t \geqslant 0)$ ．若 $S(t)$ 表示正方形 $D$ 位于直线 $l$ 左下方部分的面积，试求 $S(t)$ 与 $t$ 之间的函数关系．

1-1-17 📝 有解析

第1-1-17题

17．求联系华氏温度（用 $F$ 表示）和摄氏温度（用 $C$ 表示）的转换公式，并求 （1） $90{ }^{\circ} \mathrm{F}$ 的等价摄氏温度和 $-5{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的等价华氏温度； （2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？

1-1-18 📝 有解析

第1-1-18题

18．已知 Rt $\triangle A B C$ 中，直角边 $A C, B C$ 的长度分别为 20,15 ，动点 $P$ 从 $C$ 出发，沿三角形边界按 $C \rightarrow B \rightarrow A$ 方向移动；动点 $Q$ 从 $C$ 出发，沿三角形边界按 $C \rightarrow A \rightarrow B$ 方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点 $Q$ 移动的速度是点 $P$ 移动的速度的 2 倍．设动点 $P$ 移动的距离为 $x, \triangle C P Q$ 的面积为 $y$ ，试求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系．

1-1-2 📝 有解析

第1-1-2题

2．下列各题中，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是否相同？为什么？ （1）$f(x)=\lg x^{2}, g(x)=2 \lg x$ ； （2）$f(x)=x, g(x)=\sqrt{x^{2}}$ ； （3）$f(x)=\sqrt[3]{x^{4}-x^{3}}, g(x)=x \sqrt[3]{x-1}$ ； （4）$f(x)=1, g(x)=\sec ^{2} x-\tan ^{2} x$ ．

1-1-3 📝 有解析

第1-1-3题

3．设 $$ \varphi(x)=\left\{\begin{array}{cl} |\sin x|, & |x|\lt \frac{\pi}{3}, \\ 0, & |x| \geqslant \frac{\pi}{3}, \end{array}\right. $$ 求 $\varphi\left(\frac{\pi}{6}\right), \varphi\left(\frac{\pi}{4}\right), \varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right), \varphi(-2)$ ，并作出函数 $y=\varphi(x)$ 的图形．

1-1-4 📝 有解析

第1-1-4题

4．讨论下列函数的有界性： （1）$f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$ ； （2）$f(x)=\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}}$ ．

1-1-5 📝 有解析

第1-1-5题

5．试证下列函数在指定区间内的单调性： （1）$y=\frac{x}{1-x},(-\infty, 1)$ ； （2）$y=x+\ln x,(0,+\infty)$ ．

1-1-6 📝 有解析

第1-1-6题

6．讨论下列函数的单调性： （1）$f(x)=a x^{2}+b x+c$ ，其中 $a, b, c \in \mathbf{R}, a \neq 0$ ； （2）$f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}$ ，其中 $a, b, c, d \in \mathbf{R}, c\gt 0$ ．

1-1-7 📝 有解析

第1-1-7题

7．设 $f(x)$ 为定义在 $(-l, l)$ 内的奇函数，若 $f(x)$ 在 $(0, l)$ 内单调增加，证明 $f(x)$ 在 $(-l, 0)$ 内也单调增加．

1-1-8 📝 有解析

第1-1-8题

8．设下面所考虑的函数都是定义在区间 $(-l, l)$ 上的．证明： （1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； （2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．

1-1-9 📝 有解析

第1-1-9题

9．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？ （1）$y=x^{2}\left(1-x^{2}\right)$ ； （2）$y=3 x^{2}-x^{3}$ ； （3）$y=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ ； （4）$y=x(x-1)(x+1)$ ； （5）$y=\sin x-\cos x+1$ ； （6）$y=\frac{a^{x}+a^{-x}}{2}(a\gt 0, a \neq 1)$ ．

1-10-1 📝 有解析

第1-10-1题

1．假设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，并且对 $[0,1]$ 上任一点 $x$ 有 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ．试证明 $[0,1]$ 中必存在一点 $c$ ，使得 $f(c)=c$（ $c$ 称为函数 $f(x)$ 的不动点）．

1-10-2 📝 有解析

第1-10-2题

2．证明方程 $x^{5}-3 x=1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间．

1-10-3 📝 有解析

第1-10-3题

3．证明方程 $x=a \sin x+b$ ，其中 $a\gt 0, b\gt 0$ ，至少有一个正根，并且它不超过 $a+b$ ．

1-10-4 📝 有解析

第1-10-4题

4．证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程 $$ a_{0} x^{2 n+1}+a_{1} x^{2 n}+\cdots+a_{2 n} x+a_{2 n+1}=0 $$ 至少有一个实根，其中 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{2 n+1}$ 均为常数，$n \in \mathbf{N}$ ．

1-10-5 📝 有解析

第1-10-5题

5．证明：方程 $x^{3}+2 x^{2}-4 x-1=0$ 有三个实根．

1-10-6 📝 有解析

第1-10-6题

6．若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$a\lt x_{1}\lt x_{2}\lt \cdots\lt x_{n}\lt b(n \geqslant 3)$ ，证明：在 $\left(x_{1}, x_{n}\right)$ 内至少有一点 $\xi$ ，使 $f(\xi)=\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+\cdots+f\left(x_{n}\right)}{n}$.

1-10-*7 📝 有解析

第1-10-*7题

＊7．设函数 $f(x)$ 对于闭区间 $[a, b]$ 上的任意两点 $x, y$ ，恒有 $|f(x)-f(y)| \leqslant L|x-y|$ ，其中 $L$ 为正常数，且 $f(a) \cdot f(b)\lt 0$ ．证明：至少有一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ ．

1-10-*8 📝 有解析

第1-10-*8题

＊8．证明：若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 必在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界．

1-10-*9 📝 有解析

第1-10-*9题

＊9．在什么条件下，$(a, b)$ 内的连续函数 $f(x)$ 为一致连续？

1-2-1 📝 有解析

第1-2-1题

1．下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察 $\left\{x_{n}\right\}$ 的变化趋势，写出它们的极限： （1）$\left\{\frac{1}{2^{n}}\right\}$ ； （2）$\left\{(-1)^{n} \frac{1}{n}\right\}$ ； （3）$\left\{2+\frac{1}{n^{2}}\right\}$ ； （4）$\left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$ ； （5）$\left\{n(-1)^{n}\right\}$ ； （6）$\left\{\frac{2^{n}-1}{3^{n}}\right\}$ ； （7）$\left\{n-\frac{1}{n}\right\}$ ； （8）$\left\{\left[(-1)^{n}+1\right] \frac{n+1}{n}\right\}$ ．

1-2-2 📝 有解析

第1-2-2题

2．（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件？ （2）无界数列是否一定发散？ （3）有界数列是否一定收敛？

1-2-3 📝 有解析

第1-2-3题

3．下列关于数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限是 $a$ 的定义，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $x_{n}-a\lt \varepsilon$ 成立； （2）对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，有无穷多项 $x_{n}$ ，使不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \varepsilon$ 成立； （3）对于任意给定的 $\varepsilon\gt 0$ ，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt c \varepsilon$ 成立，其中 $c$ 为某个正常数； （4）对于任意给定的 $m \in \mathbf{N}_{+}$，存在 $N \in \mathbf{N}_{+}$，当 $n\gt N$ 时，不等式 $\left|x_{n}-a\right|\lt \frac{1}{m}$ 成立．

1-2-*4 📝 有解析

第1-2-*4题

＊4．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的一般项 $x_{n}=\frac{1}{n} \cos \frac{n \pi}{2}$ ．问 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ ？求出 $N$ ，使当 $n\gt N$ 时，$x_{n}$ 与其极限之差的绝对值小于正数 $\varepsilon$ ．当 $\varepsilon=0.001$ 时，求出数 $N$ ．

1-2-*5 📝 有解析

第1-2-*5题

＊5．根据数列极限的定义证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}=0$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n+1}{2 n+1}=\frac{3}{2}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{n^{2}+a^{2}}}{n}=1$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} 0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n \uparrow}=1$ ．

1-2-*6 📝 有解析

第1-2-*6题

＊6．若 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=a$ ，证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left|u_{n}\right|=|a|$ ．并举例说明：即使数列 $\left\{\left|x_{n}\right|\right\}$ 有极限，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 也未必有极限．

1-2-*7 📝 有解析

第1-2-*7题

＊7．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界，又 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} y_{n}=0$ ，证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n} y_{n}=0$ ．

1-2-*8 📝 有解析

第1-2-*8题

＊8．对于数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，若 $x_{2 k-1} \rightarrow a(k \rightarrow \infty), x_{2 k} \rightarrow a(k \rightarrow \infty)$ ，证明 $x_{n} \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$ ．

1-3-1 📝 有解析

第1-3-1题

1．对图 1－26 所示的函数 $y=f(x)$ ，求下列极限，如极限不存在，说明理由． （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-2} f(x)$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1} f(x)$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)$ ．

1-3-2 📝 有解析

第1-3-2题

2．对图 1－27 所示的函数 $y=f(x)$ ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)$ 不存在； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=1$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在； （6）对每个 $x_{0} \in(-1,1), \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在．

1-3-3 📝 有解析

第1-3-3题

3．对图 1－28 所示的函数 $y=f(x)$ ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？ （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=1$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)$ 不存在； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x)=1$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=1$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=0$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=0$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)=0$ ． <img src="/static/img/textbook/40464fca5d6d.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/a486dde0ce26.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/09167b75d1af.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

1-3-4 📝 有解析

第1-3-4题

4．求 $f(x)=\frac{x}{x}, \varphi(x)=\frac{|x|}{x}$ 当 $x \rightarrow 0$ 时的左、右极限，并说明它们在 $x \rightarrow 0$ 时的极限是否存在．

1-3-*11 📝 有解析

第1-3-*11题

＊11．根据函数极限的定义证明：函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_{0}$ 时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在并且相等。

1-3-*12 📝 有解析

第1-3-*12题

＊12．试给出 $x \rightarrow \infty$ 时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明．

1-3-*5 📝 有解析

第1-3-*5题

＊5．根据函数极限的定义证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 3}(3 x-1)=8$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2}(5 x+2)=12$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}-4}{x+2}=-4$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-\frac{1}{2}} \frac{1-4 x^{2}}{2 x+1}=2$ ．

1-3-*6 📝 有解析

第1-3-*6题

＊6．根据函数极限的定义证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{1+x^{3}}{2 x^{3}}=\frac{1}{2}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x}}=0$ ．

1-3-*7 📝 有解析

第1-3-*7题

＊7．当 $x \rightarrow 2$ 时，$y=x^{2} \rightarrow 4$ ．问 $\delta$ 等于多少，使当 $|x-2|\lt \delta$ 时，$|y-4|\lt 0.001$ ？

1-3-*8 📝 有解析

第1-3-*8题

＊8．当 $x \rightarrow \infty$ 时，$y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+3} \rightarrow 1$ ．问 $X$ 等于多少，使当 $|x|\gt X$ 时，$|y-1|\lt 0.01$ ？

1-3-*9 📝 有解析

第1-3-*9题

＊9．证明函数 $f(x)=|x|$ 当 $x \rightarrow 0$ 时极限为零． ${ }^{*}$ 10．证明：若 $x \rightarrow+\infty$ 及 $x \rightarrow-\infty$ 时，函数 $f(x)$ 的极限都存在且都等于 $A$ ，则 $$ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} f(x)=A $$

1-4-1 📝 有解析

第1-4-1题

1．两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之．

1-4-4 📝 有解析

第1-4-4题

4．求下列极限并说明理由： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+1}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-x^{2}}{1-x}$ ．

1-4-5 📝 有解析

第1-4-5题

5．根据函数极限或无穷大定义，填写下表： \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|} \hline & $f(x) \rightarrow A$ & $f(x) \rightarrow \infty$ & $f(x) \rightarrow+\infty$ & $f(x) \rightarrow-\infty$ \\ \hline $x \rightarrow x_{0}$ & $\forall \varepsilon\gt 0$ ， $\exists \delta\gt 0$ ，使当 $0\lt \left|x-x_{0}\right|\lt \delta$ 时，即有 $|f(x)-A|\lt \varepsilon$ & & & \\ \hline $x \rightarrow x_{0}^{+}$ & & & & \\ \hline $x \rightarrow x_{0}^{-}$ & & & & \\ \hline $x \rightarrow \infty$ & & $\forall M\gt 0$ ， $\exists X\gt 0$ ，使当 $|x|\gt X$ 时，即有 $|f(x)|\gt M$ & & \\ \hline $x \rightarrow+\infty$ & & & & \\ \hline $x \rightarrow-\infty$ & & & & \\ \hline \end{tabular}

1-4-6 📝 有解析

第1-4-6题

6．函数 $y=x \cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是否有界？这个函数是不是 $x \rightarrow+\infty$ 时的无穷大？为什么？

1-4-8 📝 有解析

第1-4-8题

8．求函数 $f(x)=\frac{4}{2-x^{2}}$ 的图形的渐近线．

1-4-*2 📝 有解析

第1-4-*2题

＊2．根据定义证明： （1）$y=\frac{x^{2}-9}{x+3}$ 为当 $x \rightarrow 3$ 时的无穷小； （2）$y=x \sin \frac{1}{x}$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时的无穷小．

1-4-*3 📝 有解析

第1-4-*3题

＊3．根据定义证明：$y=\frac{1+2 x}{x}$ 为当 $x \rightarrow 0$ 时的无穷大．问 $x$ 应满足什么条件，能使 $|y|\gt 10^{4}$ ？

1-4-*7 📝 有解析

第1-4-*7题

＊7．证明：函数 $y=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1]$ 内无界，但这个函数不是 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷大．

1-5-1 📝 有解析

第1-5-1题

1．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+5}{x-3}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \sqrt{3}} \frac{x^{2}-3}{x^{2}+1}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-1}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{4 x^{3}-2 x^{2}+x}{3 x^{2}+2 x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-1}{2 x^{2}-x-1}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x}{x^{4}-3 x^{2}+1}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-6 x+8}{x^{2}-5 x+4}$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(2-\frac{1}{x^{2}}\right)$ ； （11） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ； （12） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2+3+\cdots+(n-1)}{n^{2}}$ ； （13） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^{3}}$ ； （14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^{3}}\right)$ ．

1-5-2 📝 有解析

第1-5-2题

2．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}+2 x^{2}}{(x-2)^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{2 x+1}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(2 x^{3}-x+1\right)$ ．

1-5-3 📝 有解析

第1-5-3题

3．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x^{2} \sin \frac{1}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{\arctan x}{x}$ ．

1-5-4 📝 有解析

第1-5-4题

4．设 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ 均为非负数列，且 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} b_{n}=1, \displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\infty$ ．下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）$a_{n}\lt b_{n}, n \in \mathbf{N}_{+}$； （2）$b_{n}\lt c_{n}, n \in \mathbf{N}_{+}$； （3） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} a_{n} c_{n}$ 不存在； （4） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} b_{n} c_{n}$ 不存在．

1-5-5 📝 有解析

第1-5-5题

5．下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]$ 不存在； （2）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 都不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x)+g(x)]$ 不存在； （3）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在，但 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \cdot g(x)]$ 不存在； （4）如果 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 和 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ 都不存在，那么 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow x_{0}}[f(x) \cdot g(x)]$ 不存在．

1-5-6 📝 有解析

第1-5-6题

6．设有收敛数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 和 $\left\{y_{n}\right\}$ ，若从某项起，有 $$ x_{n} \geqslant y_{n} \quad\left(n \geqslant N, N \in \mathbf{N}_{+}\right), $$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=B$ ，证明：$A \geqslant B$ ．

1-5-*7 📝 有解析

第1-5-*7题

＊7．证明本节定理 3 中的（2）．

1-6-1 📝 有解析

第1-6-1题

1．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \omega x}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 3 x}{x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x}{\sin 5 x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x \cot x$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 2 x}{x \sin x}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} 2^{n} \sin \frac{x}{2^{n}}$（ $x$ 为不等于零的常数，$n \in \mathbf{N}_{+}$）．

1-6-2 📝 有解析

第1-6-2题

2．计算下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1+x}{x}\right)^{2 x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{k x}$（ $k$ 为正整数）．

1-6-4 📝 有解析

第1-6-4题

4．利用极限存在准则证明： （1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \sqrt{1+\frac{1}{n}}=1$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n \pi}\right)=1$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \sqrt[n]{1+x}=1$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} x\left[\frac{1}{x}\right]=1$ ．

1-6-5 📝 有解析

第1-6-5题

5．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{2+x_{n}}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$．证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．

1-6-6 📝 有解析

第1-6-6题

6．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1} \in(0, \pi), x_{n+1}=\sin x_{n}\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$．证明 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．

1-6-*3 📝 有解析

第1-6-*3题

＊3．根据函数极限的定义，证明极限存在的准则 $\mathrm{I}^{\prime}$ ．

1-7-1 📝 有解析

第1-7-1题

1．当 $x \rightarrow 0$ 时， $2 x-x^{2}$ 与 $x^{2}-x^{3}$ 相比，哪一个是高阶无穷小？

1-7-2 📝 有解析

第1-7-2题

2．当 $x \rightarrow 0$ 时，$(1-\cos x)^{2}$ 与 $\sin ^{2} x$ 相比，哪一个是高阶无穷小？

1-7-3 📝 有解析

第1-7-3题

3．当 $x \rightarrow 1$ 时，无穷小 $1-x$ 和（1） $1-x^{3}$ ，（2）$\frac{1}{2}\left(1-x^{2}\right)$ 是否同阶，是否等价？

1-7-4 📝 有解析

第1-7-4题

4．证明：当 $x \rightarrow 0$ 时，有 （1） $\arctan x \sim x$ ； （2） $\sec x-1 \sim \frac{x^{2}}{2}$ ．

1-7-5 📝 有解析

第1-7-5题

5．利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan 3 x}{2 x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \left(x^{n}\right)}{(\sin x)^{m}}(n, m$ 为正整数）； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{\sin ^{3} x}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x}{\left(\sqrt[3]{1+x^{2}}-1\right)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$ ．

1-7-6 📝 有解析

第1-7-6题

6．证明无穷小的等价关系具有下列性质： （1）$\alpha \sim \alpha$（自反性）； （2）若 $\alpha \sim \beta$ ，则 $\beta \sim \alpha$（对称性）； （3）若 $\alpha \sim \beta, \beta \sim \gamma$ ，则 $\alpha \sim \gamma$（传递性）．

1-8-1 📝 有解析

第1-8-1题

1．设 $y=f(x)$ 的图形如图 1－39 所示，试指出 $f(x)$ 的全部间断点，并对可去间断点补充或修改函数值的定义，使它成为连续点．

1-8-2 📝 有解析

第1-8-2题

2．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形： （1）$f(x)= \begin{cases}x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 2-x, & 1\lt x \leqslant 2 ;\end{cases}$ （2）$f(x)= \begin{cases}x, & -1 \leqslant x \leqslant 1, \\ 1, & x\lt -1 \text { 或 } x\gt 1 .\end{cases}$ <img src="/static/img/textbook/d744f195e52f.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

1-8-3 📝 有解析

第1-8-3题

3．下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类．如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续： （1）$y=\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3 x+2}, x=1, x=2$ ； （2）$y=\frac{x}{\tan x}, x=k \pi, x=k \pi+\frac{\pi}{2} \quad(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ ； （3）$y=\cos ^{2} \frac{1}{x}, x=0$ ； （4）$y=\left\{\begin{array}{ll}x-1, & x \leqslant 1, \\ 3-x, & x\gt 1,\end{array} \quad x=1\right.$.

1-8-4 📝 有解析

第1-8-4题

4．讨论函数 $f(x)=\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x \quad\left(n \in \mathbf{N}_{+}\right)$的连续性，若有间断点，则判别其类型．

1-8-5 📝 有解析

第1-8-5题

5．下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）如果函数 $f(x)$ 在 $a$ 连续，那么 $|f(x)|$ 也在 $a$ 连续； （2）如果函数 $|f(x)|$ 在 $a$ 连续，那么 $f(x)$ 也在 $a$ 连续．

1-8-8 📝 有解析

第1-8-8题

8．设 $f(x)$ 对任意实数 $x, y$ ，有 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ ，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，证明：$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续．

1-8-*6 📝 有解析

第1-8-*6题

＊6．证明：若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 连续且 $f\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则存在 $x_{0}$ 的某一邻域 $U\left(x_{0}\right)$ ，当 $x \in U\left(x_{0}\right)$ 时， $f(x) \neq 0$ ．

1-8-*7 📝 有解析

第1-8-*7题

＊7．设 $$ f(x)= \begin{cases}x, & x \in \mathbf{Q} \\ 0, & x \in \mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}\end{cases} $$ 证明： （1）$f(x)$ 在 $x=0$ 连续； （2）$f(x)$ 在非零的 $x$ 处都不连续．

1-9-1 📝 有解析

第1-9-1题

1．求函数 $f(x)=\frac{x^{3}+3 x^{2}-x-3}{x^{2}+x-6}$ 的连续区间，并求极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x), ~ \displaystyle{\lim} _{x \rightarrow-3} f(x)$ 及 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 2} f(x)$ ．

1-9-2 📝 有解析

第1-9-2题

2．设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在点 $x_{0}$ 连续，证明函数 $$ \varphi(x)=\max \{f(x), g(x)\}, \quad \psi(x)=\min \{f(x), g(x)\} $$ 在点 $x_{0}$ 也连续。

1-9-3 📝 有解析

第1-9-3题

3．求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \sqrt{x^{2}-2 x+5}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{\alpha \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\sin 2 \alpha)^{3}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}} \ln (2 \cos 2 x)$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5 x-4}-\sqrt{x}}{x-1}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \alpha} \frac{\sin x-\sin \alpha}{x-\alpha}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x}\right)$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1-\frac{1}{2} x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}-1}{x \ln (1+x)}$ ．

1-9-4 📝 有解析

第1-9-4题

4．求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \ln \frac{\sin x}{x}$ ； （3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}$ ； （4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(1+3 \tan ^{2} x\right)^{\cot ^{2} x}$ ； （5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$ ； （6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x \sqrt{1+\sin ^{2} x}-x}$ ； （7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \mathrm{e}} \frac{\ln x-1}{x-\mathrm{e}}$ ； （8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{3 x}-\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{x}+1}{\sqrt[3]{(1-x)(1+x)}-1}$ ； （9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} x\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{2 x}}-1\right)$ ； （10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}}$ ．

1-9-5 📝 有解析

第1-9-5题

5．设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，且 $f(x) \neq 0, \varphi(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义，且有间断点，则下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，试说明理由；如果是错的，试给出一个反例． （1）$\varphi[f(x)]$ 必有间断点； （2）$[\varphi(x)]^{2}$ 必有间断点； （3）$f[\varphi(x)]$ 未必有间断点； （4）$\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点．

1-9-6 📝 有解析

第1-9-6题

6．设函数 $$ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}, & x\lt 0, \\ a+x, & x \geqslant 0 .\end{cases} $$ 应当怎样选择数 $a$ ，才能使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？