第2章

2-1-1 📝 有解析

第2-1-1题

1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔 $[0, t]$ 上转过角度 $\theta$ ，从而转角 $\theta$ 是 $t$ 的函数：$\theta=\theta(t)$ ．如果旋转是匀速的，那么称 $\omega=\frac{\theta}{t}$ 为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻 $t_{0}$ 的角速度？

2-1-10 📝 有解析

第2-1-10题

10．已知物体的运动规律为 $s=t^{3} \mathrm{~m}$ ，求这物体在 $t=2 \mathrm{~s}$ 时的速度．

2-1-11 📝 有解析

第2-1-11题

11．试证明： （1）若 $f(x)$ 为可导的奇函数，则 $f^{\prime}(x)$ 为偶函数； （2）若 $f(x)$ 为可导的偶函数，则 $f^{\prime}(x)$ 为奇函数； （3）若 $f(x)$ 为偶函数，且 $f^{\prime}(0)$ 存在，则 $f^{\prime}(0)=0$ ．

2-1-12 📝 有解析

第2-1-12题

12．求曲线 $y=\sin x$ 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率： $$ x=\frac{2}{3} \pi, \quad x=\pi $$

2-1-13 📝 有解析

第2-1-13题

13．求曲线 $y=\cos x$ 上点 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 处的切线方程和法线方程．

2-1-14 📝 有解析

第2-1-14题

14．求曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程．

2-1-15 📝 有解析

第2-1-15题

15．在抛物线 $y=x^{2}$ 上取横坐标为 $x_{1}=1$ 及 $x_{2}=3$ 的两点，作过这两点的割线．问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？

2-1-16 📝 有解析

第2-1-16题

16．讨论下列函数在 $x=0$ 处的连续性与可导性： （1）$y=|\sin x|$ ； （2）$y= \begin{cases}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$

2-1-17 📝 有解析

第2-1-17题

17．设函数 $$ f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \leqslant 1 \\ a x+b, & x\gt 1\end{cases} $$ 为了使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续且可导，$a, b$ 应取什么值？

2-1-18 📝 有解析

第2-1-18题

18．已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x, & x\lt 0, \\ x^{2}, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 求 $f_{+}^{\prime}(0)$ 及 $f_{-}^{\prime}(0)$ ，又 $f^{\prime}(0)$ 是否存在？

2-1-19 📝 有解析

第2-1-19题

19．已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & x\lt 0, \\ x, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ．

2-1-2 📝 有解析

第2-1-2题

2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度 $T$ 与时间 $t$ 的函数关系为 $T=T(t)$ ，应怎样确定该物体在时刻 $t$ 的冷却速度？

2-1-20 📝 有解析

第2-1-20题

20．证明：双曲线 $x y=a^{2}$ 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 $2 a^{2}$ ．

2-1-3 📝 有解析

第2-1-3题

3．设某工厂生产 $x$ 件产品的成本为 $$ C(x)=2000+100 x-0.1 x^{2}(\text { 元 }), $$ 这函数 $C(x)$ 称为成本函数，成本函数 $C(x)$ 的导数 $C^{\prime}(x)$ 在经济学中称为边际成本．试求 （1）当生产 100 件产品时的边际成本； （2）生产第 101 件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．

2-1-4 📝 有解析

第2-1-4题

4．设函数 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2) \cdots \cdots(x-n)}{(x+1)(x+2) \cdots \cdots(x+n)}$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．

2-1-5 📝 有解析

第2-1-5题

5．证明 $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$ ．

2-1-6 📝 有解析

第2-1-6题

6．下列各题中均假定 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 存在，按照导数定义观察下列极限，指出 $A$ 表示什么： （1） $\displaystyle{\lim} _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}-\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=A$ ； （2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=A$ ，其中 $f(0)=0$ ，且 $f^{\prime}(0)$ 存在； （3） $\displaystyle{\lim} _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{h}=A$ ． 以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：

2-1-7 📝 有解析

第2-1-7题

7．设 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{2}{3} x^{3}, & x \leqslant 1 \\ x^{2}, & x\gt 1\end{cases} $$ 则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的 ）． （A）左、右导数都存在 （B）左导数存在，右导数不存在 （C）左导数不存在，右导数存在 （D）左、右导数都不存在

2-1-8 📝 有解析

第2-1-8题

8．设 $f(x)$ 可导，$F(x)=f(x)(1+|\sin x|)$ ，则 $f(0)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=0$ 处可导的 ． （A）充分必要条件 （B）充分条件但非必要条件 （C）必要条件但非充分条件 （D）既非充分条件又非必要条件

2-1-9 📝 有解析

第2-1-9题

9．求下列函数的导数： （1）$y=x^{4}$ ； （2）$y=\sqrt[3]{x^{2}}$ ； （3）$y=x^{1.6}$ ； （4）$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ； （5）$y=\frac{1}{x^{2}}$ ； （6）$y=x^{3} \sqrt[5]{x}$ ； （7）$y=\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{x^{5}}}$ ．

2-2-1 📝 有解析

第2-2-1题

1．推导余切函数及余割函数的导数公式： $$ (\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x, \quad(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x $$

2-2-10 📝 有解析

第2-2-10题

10．设 $f(x)$ 可导，求下列函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$y=f\left(x^{2}\right)$ ； （2）$y=f\left(\sin ^{2} x\right)+f\left(\cos ^{2} x\right)$ ； （3）$y=\frac{f\left(\mathrm{e}^{x}\right)}{\mathrm{e}^{f(x)}}$ ．

2-2-11 📝 有解析

第2-2-11题

11．求下列函数的导数： （1）$y=\mathrm{e}^{-x}\left(x^{2}-2 x+3\right)$ ； （2）$y=\sin ^{2} x \cdot \sin \left(x^{2}\right)$ ； （3）$y=\left(\arctan \frac{x}{2}\right)^{2}$ ； （4）$y=\frac{\ln x}{x^{n}}$ ； （5）$y=\frac{\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}}$ ； （6）$y=\ln \cos \frac{1}{x}$ ； （7）$y=\mathrm{e}^{-\sin ^{2} \frac{1}{x}}$ （8）$y=\sqrt{x+\sqrt{x}}$ ； （9）$y=x \arcsin \frac{x}{2}+\sqrt{4-x^{2}}$ ； （10）$y=\arcsin \frac{2 t}{1+t^{2}}$ ．

2-2-13 📝 有解析

第2-2-13题

13．设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均在点 $x_{0}$ 的某一邻域内有定义，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，$f\left(x_{0}\right)=0, g(x)$ 在 $x_{0}$处连续，试讨论 $f(x) g(x)$ 在 $x_{0}$ 处的可导性．

2-2-14 📝 有解析

第2-2-14题

14．设函数 $f(x)$ 满足下列条件： （1）$f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ ，对一切 $x, y \in \mathbf{R}$ ； （2）$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导． 试证明 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上处处可导，且 $f^{\prime}(x)=f(x) \cdot f^{\prime}(0)$ ．

2-2-2 📝 有解析

第2-2-2题

2．求下列函数的导数： （1）$y=x^{3}+\frac{7}{x^{4}}-\frac{2}{x}+12$ ； （2）$y=5 x^{3}-2^{x}+3 \mathrm{e}^{x}$ ； （3）$y=2 \tan x+\sec x-1$ ； （4）$y=\sin x \cdot \cos x$ ； （5）$y=x^{2} \ln x$ ； （6）$y=3 \mathrm{e}^{x} \cos x$ ； （7）$y=\frac{\ln x}{x}$ ； （8）$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}+\ln 3$ ； （9）$y=x^{2} \ln x \cos x$ ； （10）$s=\frac{1+\sin t}{1+\cos t}$ ．

2-2-3 📝 有解析

第2-2-3题

3．求下列函数在给定点处的导数： （1）$y=\sin x-\cos x$ ，求 $\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{6}}$ 和 $\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}$ ； （2）$\rho=\theta \sin \theta+\frac{1}{2} \cos \theta$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}\right|_{\theta=\frac{\pi}{4}}$ ； （3）$f(x)=\frac{3}{5-x}+\frac{x^{2}}{5}$ ，求 $f^{\prime}(0)$ 和 $f^{\prime}(2)$ ．

2-2-4 📝 有解析

第2-2-4题

4．以初速度 $v_{0}$ 竖直上抛的物体，其上升高度 $s$ 与时间 $t$ 的关系是 $s=v_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2}$ ．求： （1）该物体的速度 $v(t)$ ； （2）该物体达到最高点的时刻．

2-2-5 📝 有解析

第2-2-5题

5．求曲线 $y=2 \sin x+x^{2}$ 上横坐标为 $x=0$ 的点处的切线方程和法线方程．

2-2-6 📝 有解析

第2-2-6题

6．求下列函数的导数： （1）$y=(2 x+5)^{4}$ ； （2）$y=\cos (4-3 x)$ ； （3）$y=\mathrm{e}^{-3 x^{2}}$ ； （4）$y=\ln \left(1+x^{2}\right)$ ； （5）$y=\sin ^{2} x$ ； （6）$y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ； （7）$y=\tan x^{2}$ ； （8）$y=\arctan \left(\mathrm{e}^{x}\right)$ ； （9）$y=(\arcsin x)^{2}$ ； （10）$y=\ln \cos x$ ．

2-2-7 📝 有解析

第2-2-7题

7．求下列函数的导数： （1）$y=\arcsin (1-2 x)$ ； （2）$y=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （3）$y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \cos 3 x$ ； （4）$y=\arccos \frac{1}{x}$ ； （5）$y=\frac{1-\ln x}{1+\ln x}$ ； （6）$y=\frac{\sin 2 x}{x}$ ； （7）$y=\arcsin \sqrt{x}$ ； （8）$y=\ln \left(x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}\right)$ ； （9）$y=\ln (\sec x+\tan x)$ ； （10）$y=\ln (\csc x-\cot x)$ ．

2-2-8 📝 有解析

第2-2-8题

8．求下列函数的导数： （1）$y=\left(\arcsin \frac{x}{2}\right)^{2}$ ； （2）$y=\ln \tan \frac{x}{2}$ ； （3）$y=\sqrt{1+\ln ^{2} x}$ ； （4）$y=\mathrm{e}^{\arctan \sqrt{x}}$ ； （5）$y=\sin ^{n} x \cos n x$ ； （6）$y=\arctan \frac{x+1}{x-1}$ ； （7）$y=\frac{\arcsin x}{\arccos x}$ ； （8）$y=\ln \ln \ln x$ ； （9）$y=\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$ ； （10）$y=\arcsin \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ ．

2-2-9 📝 有解析

第2-2-9题

9．设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可导，且 $f^{2}(x)+g^{2}(x) \neq 0$ ，试求函数 $y=\sqrt{f^{2}(x)+g^{2}(x)}$ 的导数．

2-2-*12 📝 有解析

第2-2-*12题

＊12．求下列函数的导数： （1）$y=\operatorname{ch}(\operatorname{sh} x)$ ； （2）$y=\operatorname{sh} x \cdot \mathrm{e}^{\operatorname{ch} x}$ ； （3）$y=\operatorname{th}(\ln x)$ ； （4）$y=\operatorname{sh}^{3} x+\operatorname{ch}^{2} x$ ； （5）$y=\operatorname{th}\left(1-x^{2}\right)$ ； （6）$y=\operatorname{arsh}\left(x^{2}+1\right)$ ； （7）$y=\operatorname{arch}\left(\mathrm{e}^{2 x}\right)$ ； （8）$y=\arctan ($ th $x)$ ； （9）$y=\ln \operatorname{ch} x+\frac{1}{2 \operatorname{ch}^{2} x}$ ； （10）$y=\operatorname{ch}^{2}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ ．

2-3-1 📝 有解析

第2-3-1题

1．求下列函数的二阶导数： （1）$y=2 x^{2}+\ln x$ ； （2）$y=\mathrm{e}^{2 x-1}$ ； （3）$y=x \cos x$ ； （4）$y=\mathrm{e}^{-t} \sin t$ ； （5）$y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ； （6）$y=\ln \left(1-x^{2}\right)$ ； （7）$y=\tan x$ ； （8）$y=\frac{1}{x^{3}+1}$ ； （9）$y=\left(1+x^{2}\right) \arctan x$ ； （1）记号 $\displaystyle{\sum}$ 表示对同一类型诸项求和。例如，$\displaystyle{\sum}_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} u^{n-k} v^{k}$ 表示在 $\mathrm{C}_{n}^{k} u^{n-k} v^{k}$ 中依次令 $k=0,1, \cdots, n$ ，然后对这样得到的 $n+1$ 项求和． （10）$y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ ； （11）$y=x \mathrm{e}^{x^{2}}$ ； （12）$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ．

2-3-2 📝 有解析

第2-3-2题

2．设 $f(x)=(x+10)^{6}$ ，求 $f^{\prime \prime \prime}(2)$ ．

2-3-3 📝 有解析

第2-3-3题

3．设 $f^{\prime \prime}(x)$ 存在，求下列函数的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ： （1）$y=f\left(x^{2}\right)$ ； （2）$y=\ln [f(x)]$ ．

2-3-4 📝 有解析

第2-3-4题

4．试从 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}=\frac{1}{y^{\prime}}$ 导出： （1）$\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}=-\frac{y^{\prime \prime}}{\left(y^{\prime}\right)^{3}}$ ； （2）$\frac{\mathrm{d}^{3} x}{\mathrm{~d} y^{3}}=\frac{3\left(y^{\prime \prime}\right)^{2}-y^{\prime} y^{\prime \prime \prime}}{\left(y^{\prime}\right)^{5}}$ ．

2-3-5 📝 有解析

第2-3-5题

5．已知物体的运动规律为 $s=A \sin \omega t$（ $A, \omega$ 是常数），求该物体运动的加速度，并验证： $$ \frac{\mathrm{d}^{2} s}{\mathrm{~d} t^{2}}+\omega^{2} s=0 $$

2-3-6 📝 有解析

第2-3-6题

6．密度大的陨星进人大气层时，它离地心为 $s \mathrm{~km}$ 时的速度与 $\sqrt{s}$ 成反比．试证陨星的加速度与 $s^{2}$成反比．

2-3-7 📝 有解析

第2-3-7题

7．假设质点沿 $x$ 轴运动的速度为 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=f(x)$ ，试求该质点运动的加速度．

2-3-8 📝 有解析

第2-3-8题

8．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x} \cos x, & x \leqslant 0, \\ a x^{2}+b x+c, & x\gt 0,\end{array}\right.$ 试选择常数 $a, b, c$ ，使 $f(x)$ 具有二阶导数．

2-3-9 📝 有解析

第2-3-9题

9．求下列函数所指定的阶的导数： （1）$y=\mathrm{e}^{x} \cos x$ ，求 $y^{(4)}$ ； （2）$y=x^{2} \sin 2 x$ ，求 $y^{(50)}$ ．

2-3-*10 📝 有解析

第2-3-*10题

＊10．求下列函数的 $n$ 阶导数的一般表达式： （1）$y=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+a_{2} x^{n-2}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n} \quad\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right.$ 都是常数）； （2）$y=\sin ^{2} x$ ； （3）$y=x \ln x$ ； （4）$y=x e^{x}$ ．

2-3-*11 📝 有解析

第2-3-*11题

＊11．求函数 $f(x)=x^{2} \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0) \quad(n \geqslant 3)$ ．

2-4-1 📝 有解析

第2-4-1题

1．求由下列方程所确定的隐函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$y^{2}-2 x y+9=0$ ； （2）$x^{3}+y^{3}-3 a x y=0$ ； （3）$x y=\mathrm{e}^{x+y}$ ； （4）$y=1-x \mathrm{e}^{y}$ ．

2-4-11 📝 有解析

第2-4-11题

11．落在平静水面上的石头，产生同心波纹．若最外一圈波纹半径的增大速率总是 $6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，问在 2 s 末扰动水面面积增大的速率为多少？

2-4-12 📝 有解析

第2-4-12题

12．注水人深 8 m 、上顶直径 8 m 的正圆锥形容器中，其速率为 $4 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ ．当水深为 5 m 时，其表面上升的速率为多少？

2-4-13 📝 有解析

第2-4-13题

13．溶液自深 18 cm 、顶直径 12 cm 的正圆锥形漏斗中漏人一直径为 10 cm 的圆柱形筒中．开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为 12 cm 时，其表面下降的速率为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{min}$ ．问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？

2-4-2 📝 有解析

第2-4-2题

2．求曲线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ 在点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4} a, \frac{\sqrt{2}}{4} a\right)$ 处的切线方程和法线方程．

2-4-3 📝 有解析

第2-4-3题

3．设曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} y-x y^{2}=2$ ，试找出 $C$ 上有水平切线和铅直切线的点．

2-4-4 📝 有解析

第2-4-4题

4．求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ： （1）$b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2}$ ； （2）$y=\tan (x+y)$ ； （3）$y=1+x \mathrm{e}^{y}$ ； （4）$y-2 x=(x-y) \ln (x-y)$ ．

2-4-5 📝 有解析

第2-4-5题

5．用对数求导法求下列函数的导数： （1）$y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}$ ； （2）$y=\sqrt[5]{\frac{x-5}{\sqrt[5]{x^{2}+2}}}$ ； （3）$y=\frac{\sqrt{x+2}(3-x)^{4}}{(x+1)^{5}}$ ； （4）$y=\sqrt{x \sin x \sqrt{1-\mathrm{e}^{x}}}$ ．

2-4-6 📝 有解析

第2-4-6题

6．求下列参数方程所确定的函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ： （1）$\left\{\begin{array}{l}x=a t^{2}, \\ y=b t^{3} ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}x=\theta(1-\sin \theta), \\ y=\theta \cos \theta .\end{array}\right.$

2-4-7 📝 有解析

第2-4-7题

7．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{t} \sin t, \\ y=\mathrm{e}^{t} \cos t,\end{array}\right.$ 求当 $t=\frac{\pi}{3}$ 时 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 的值．

2-4-8 📝 有解析

第2-4-8题

8．写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程： （1）$\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=\cos 2 t,\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 处； （2）$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3 a t}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{3 a t^{2}}{1+t^{2}},\end{array}\right.$ 在 $t=2$ 处．

2-4-9 📝 有解析

第2-4-9题

9．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ： （1）$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{t^{2}}{2}, \\ y=1-t ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t, \\ y=b \sin t ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}x=3 \mathrm{e}^{-t}, \\ y=2 \mathrm{e}^{t} ;\end{array}\right.$ （4）$\left\{\begin{array}{l}x=f^{\prime}(t), \\ y=t f^{\prime}(t)-f(t),\end{array}\right.$ 设 $f^{\prime \prime}(t)$ 存在且不为零．

2-4-*10 📝 有解析

第2-4-*10题

＊10．求下列参数方程所确定的函数的三阶导数 $\frac{\mathrm{d}^{3} y}{\mathrm{~d} x^{3}}$ ： （1）$\left\{\begin{array}{l}x=1-t^{2}, \\ y=t-t^{3} ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^{2}\right), \\ y=t-\arctan t .\end{array}\right.$

2-5-1 📝 有解析

第2-5-1题

1．已知 $y=x^{3}-x$ ，计算在 $x=2$ 处当 $\Delta x$ 分别等于 $1,0.1,0.01$ 时的 $\Delta y$ 及 $\mathrm{d} y$ ．

2-5-10 📝 有解析

第2-5-10题

10．计算下列各根式的近似值： （1）$\sqrt[3]{996}$ ； （2）$\sqrt[6]{65}$ ．

2-5-2 📝 有解析

第2-5-2题

2．设函数 $y=f(x)$ 的图形如图 2－12，试在图 2－12（a）、（b）、（c）、（d）中分别标出在点 $x_{0}$ 的 $\mathrm{d} y$ ， $\Delta y$ 及 $\Delta y-\mathrm{d} y$ ，并说明其正负． <img src="/static/img/textbook/1573b9fd9034.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/f89d9fb80039.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/3599b8e5720c.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

2-5-3 📝 有解析

第2-5-3题

3．求下列函数的微分： （1）$y=\frac{1}{x}+2 \sqrt{x}$ ； （2）$y=x \sin 2 x$ ； （3）$y=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ ； （4）$y=\ln ^{2}(1-x)$ ； （5）$y=x^{2} e^{2 x}$ ； （6）$y=\mathrm{e}^{-x} \cos (3-x)$ ； （7）$y=\arcsin \sqrt{1-x^{2}}$ ； （8）$y=\tan ^{2}\left(1+2 x^{2}\right)$ ； （9）$y=\arctan \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ ； （10）$s=A \sin (\omega t+\varphi) \quad(A, \omega, \varphi$ 是常数）．

2-5-4 📝 有解析

第2-5-4题

4．将适当的函数填人下列括号内，使等式成立： （1） $\mathrm{d}(\quad)=2 \mathrm{~d} x$ ； （2） $\mathrm{d}(\quad)=3 x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\mathrm{d}(\quad)=\cos t \mathrm{~d} t$ ； （4）$d(\quad)=\sin \omega x d x \quad(\omega \neq 0)$ ； （5） $\mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\mathrm{d}(\quad)=\mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\mathrm{d}(\quad)=\sec ^{2} 3 x \mathrm{~d} x$ ．

2-5-5 📝 有解析

第2-5-5题

5．如图 2－13 所示的电缆 $\overparen{A O B}$ 的长为 $s$ ，跨度为 $2 l$ ，电缆的最低点 $O$ 与杆顶连线 $A B$ 的距离为 $f$ ，则电缆长可按下面公式计算 $$ s=2 l\left(1+\frac{2 f^{2}}{3 l^{2}}\right) $$ 当 $f$ 变化了 $\Delta f$ 时，电缆长的变化约为多少？

2-5-6 📝 有解析

第2-5-6题

6．设扇形的圆心角 $\alpha=60^{\circ}$ ，半径 $R=100 \mathrm{~cm}$（图2－14）．如果 $R$ 不变，$\alpha$ 减少 $30^{\prime}$ ，问扇形面积大约改变了多少？又如果 $\alpha$ 不变，$R$ 增加 1 cm ，问扇形面积大约改变了多少？ <img src="/static/img/textbook/dc9e6a0c0ff3.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> <img src="/static/img/textbook/771e1ac3dad6.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

2-5-7 📝 有解析

第2-5-7题

7．计算下列三角函数值的近似值： （1） $\cos 29^{\circ}$ ； （2） $\tan 136^{\circ}$ ．

2-5-8 📝 有解析

第2-5-8题

8．计算下列反三角函数值的近似值： （1） $\arcsin 0.5002$ ； （2） $\arccos 0.4995$ ．

2-5-9 📝 有解析

第2-5-9题

9．当 $|x|$ 较小时，证明下列近似公式： （1） $\tan x \approx x$（ $x$ 是角的弧度值）； （2） $\ln (1+x) \approx x$ ； （3）$\sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n} x$ ； （4） $\mathrm{e}^{x} \approx 1+x$ ． 并计算 $\tan 45^{\prime}$ 和 $\ln 1.002$ 的近似值．

2-5-*11 📝 有解析

第2-5-*11题

＊11．计算球体体积时，要求精确度在 $2 \%$ 以内．问这时测量直径 $D$ 的相对误差不能超过多少？

2-5-*12 📝 有解析

第2-5-*12题

＊12．某厂生产如图 2－15 所示的扇形板，半径 $R=200 \mathrm{~mm}$ ，要求圆心角 $\alpha$ 为 $55^{\circ}$ ．产品检验时，一般用测量弦长 $l$ 的办法来间接测量圆心角 $\alpha$ ．如果测量弦长 $l$ 时的误差 $\delta_{l}=0.1 \mathrm{~mm}$ ，问由此而引起的圆心角测量误差 <img src="/static/img/textbook/fda2f2585224.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> $\delta_{\alpha}$ 是多少？