第3章
3-1-1
📝 有解析
第3-1-1题
1．验证罗尔定理对函数 $y=\ln \sin x$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$ 上的正确性．
3-1-10
📝 有解析
第3-1-10题
10．设 $a\gt b\gt 0$ ，证明：$\frac{a-b}{a}\lt \ln \frac{a}{b}\lt \frac{a-b}{b}$ ．
3-1-11
📝 有解析
第3-1-11题
11．证明下列不等式：
（1）$|\arctan a-\arctan b| \leqslant|a-b|$ ；
（2）当 $x\gt 1$ 时， $\mathrm{e}^{x}\gt \mathrm{e} x$ ．
3-1-12
📝 有解析
第3-1-12题
12．证明方程 $x^{5}+x-1=0$ 只有一个正根．
3-1-14
📝 有解析
第3-1-14题
14．证明：若函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足关系式 $f^{\prime}(x)=f(x)$ ，且 $f(0)=1$ ，则 $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ ．
3-1-2
📝 有解析
第3-1-2题
2．验证拉格朗日中值定理对函数 $y=4 x^{3}-5 x^{2}+x-2$ 在区间 $[0,1]$ 上的正确性．
3-1-3
📝 有解析
第3-1-3题
3．对函数 $f(x)=\sin x$ 及 $F(x)=x+\cos x$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上验证柯西中值定理的正确性．
3-1-4
📝 有解析
第3-1-4题
4．试证明对函数 $y=p x^{2}+q x+r$ 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 $\xi$ 总是位于区间的正中间．
3-1-5
📝 有解析
第3-1-5题
5．不用求出函数 $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ 的导数，说明方程 $f^{\prime}(x)=0$ 有几个实根，并指出它们所在的区间．
3-1-6
📝 有解析
第3-1-6题
6．证明恒等式： $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}(-1 \leqslant x \leqslant 1)$ ．
3-1-7
📝 有解析
第3-1-7题
7．若方程 $a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x=x_{0}$ ，证明方程 $a_{0} n x^{n-1}+a_{1}(n-1) x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}=$ 0 必有一个小于 $x_{0}$ 的正根．
3-1-8
📝 有解析
第3-1-8题
8．若函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上具有二阶导数，且 $f(2)=0$ ，又 $F(x)=(x-1)^{2} f(x)$ ，证明在 $(1,2)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
3-1-9
📝 有解析
第3-1-9题
9．设 $a\gt b\gt 0, n\gt 1$ ，证明：$n b^{n-1}(a-b)\lt a^{n}-b^{n}\lt n a^{n-1}(a-b)$ ．
3-1-*13
📝 有解析
第3-1-*13题
＊13．设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明在 $(a, b)$ 内有一点 $\xi$ ，使
$$
\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f^{\prime}(\xi) \\
g(a) & g^{\prime}(\xi)
\end{array}\right|
$$
3-1-*15
📝 有解析
第3-1-*15题
＊15．设函数 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有 $n$ 阶导数，且 $f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(n-1)}(0)=0$ ，试用柯西中值定理证明：
$$
\frac{f(x)}{x^{n}}=\frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} \quad(0\lt \theta\lt 1) .
$$
3-2-1
📝 有解析
第3-2-1题
1．用洛必达法则求下列极限：
（1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}$ ；
（2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}$ ；
（3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ ；
（4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \pi \tan 5 x} \frac{\sin 3 x}{5 x}$ ；
（5） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\ln \sin x}{(\pi-2 x)^{2}}$ ；
（6） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow a} \frac{x^{m}-a^{m}}{x^{n}-a^{n}}(a \neq 0)$ ；
（7） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \tan 7 x}{\ln \tan 2 x}$ ；
（8） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tan x}{\tan 3 x}$ ；
（9） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\operatorname{arccot} x}$ ；
（10） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^{2}\right)}{\sec x-\cos x}$ ；
（11） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x \cot 2 x$ ；
（12） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} x^{2} \mathrm{e}^{\frac{1}{x^{2}}}$ ；
（13） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 1}\left(\frac{2}{x^{2}-1}-\frac{1}{x-1}\right)$ ；
（14） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0}\left(\mathrm{e}^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}$ ；
（15） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sin x}$ ；
（16） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}$ ．
3-2-2
📝 有解析
第3-2-2题
2．验证极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{x}$ 存在，但不能用洛必达法则得出．
3-2-3
📝 有解析
第3-2-3题
3．验证极限 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}$ 存在，但不能用洛必达法则得出．
3-2-*4
📝 有解析
第3-2-*4题
＊4．讨论函数
$$
f(x)= \begin{cases}{\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{\mathrm{e}}\right]^{\frac{1}{x}},} & x\gt 0, \\ \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}, & x \leqslant 0\end{cases}
$$
在点 $x=0$ 处的连续性．
3-3-1
📝 有解析
第3-3-1题
1．按 $x-4$ 的幂展开多项式 $f(x)=x^{4}-5 x^{3}+x^{2}-3 x+4$ ．
3-3-11
📝 有解析
第3-3-11题
11．若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x)\gt 0$ ，又 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，证明：$f(x) \geqslant x$ ， $x \in(-\infty,+\infty)$ ．
3-3-2
📝 有解析
第3-3-2题
2．应用麦克劳林公式，按 $x$ 的幂展开函数 $f(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right)^{3}$ ．
3-3-3
📝 有解析
第3-3-3题
3．求函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 按 $x-4$ 的幂展开的带有拉格朗日余项的 3 阶泰勒公式．
3-3-4
📝 有解析
第3-3-4题
4．求函数 $f(x)=\ln x$ 按 $x-2$ 的幂展开的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶泰勒公式．
3-3-5
📝 有解析
第3-3-5题
5．求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 按 $x+1$ 的幂展开的带有拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式．
3-3-6
📝 有解析
第3-3-6题
6．求函数 $f(x)=\tan x$ 的带有佩亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式．
3-3-7
📝 有解析
第3-3-7题
7．求函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{x}$ 的带有佩亚诺余项的 $n$ 阶麦克劳林公式．
3-3-8
📝 有解析
第3-3-8题
8．验证当 $0\lt x \leqslant \frac{1}{2}$ 时，按公式 $\mathrm{e}^{x} \approx 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}$ 计算 $\mathrm{e}^{x}$ 的近似值时，所产生的误差小于 0.01 ，并求 $\sqrt{\mathrm{e}}$ 的近似值，使误差小于 0.01 ．
3-3-9
📝 有解析
第3-3-9题
9．应用 3 阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差：
（1）$\sqrt[3]{30}$ ；
（2） $\sin 18^{\circ}$ ．
3-3-*10
📝 有解析
第3-3-*10题
＊10．利用泰勒公式求下列极限：
（1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+3 x^{2}}-\sqrt[4]{x^{4}-2 x^{3}}\right)$ ；
（2） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{2}[x+\ln (1-x)]}$ ；
（3） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{1+x^{2}}}{\left(\cos x-e^{x^{2}}\right) \sin x^{2}}$ ；
（4） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
3-4-1
📝 有解析
第3-4-1题
1．判定函数 $f(x)=\arctan x-x$ 的单调性．
3-4-10
📝 有解析
第3-4-10题
10．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：
（1）$y=x^{3}-5 x^{2}+3 x+5$ ；
（2）$y=x e^{-x}$ ；
（3）$y=(x+1)^{4}+\mathrm{e}^{x}$ ；
（4）$y=\ln \left(x^{2}+1\right)$ ；
（5）$y=\mathrm{e}^{\arctan x}$ ；
（6）$y=x^{4}(12 \ln x-7)$ ．
3-4-11
📝 有解析
第3-4-11题
11．利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：
（1）$\frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right)\gt \left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}(x\gt 0, y\gt 0, x \neq y, n\gt 1)$ ；
（2）$\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}}{2}\gt \mathrm{e}^{\frac{x+y}{2}}(x \neq y)$ ；
（3）$x \ln x+y \ln y\gt (x+y) \ln \frac{x+y}{2}(x\gt 0, y\gt 0, x \neq y)$ ；
（4） $\sin x\gt \frac{2 x}{\pi}\left(0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\right)$ ．
3-4-13
📝 有解析
第3-4-13题
13．问 $a, b$ 为何值时，点 $(1,3)$ 为曲线 $y=a x^{3}+b x^{2}$ 的拐点？
3-4-14
📝 有解析
第3-4-14题
14．试决定曲线 $y=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 中的 $a, b, c, d$ ，使得 $x=-2$ 处曲线有水平切线，$(1,-10)$ 为拐点，且点 $(-2,44)$ 在曲线上．
3-4-15
📝 有解析
第3-4-15题
15．试决定 $y=k\left(x^{2}-3\right)^{2}$ 中 $k$ 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点．
3-4-2
📝 有解析
第3-4-2题
2．判定函数 $f(x)=x+\cos x$ 的单调性．
3-4-3
📝 有解析
第3-4-3题
3．确定下列函数的单调区间：
（1）$y=2 x^{3}-6 x^{2}-18 x-7$ ；
（2）$y=2 x+\frac{8}{x} \quad(x\gt 0)$ ；
（3）$y=\frac{10}{4 x^{3}-9 x^{2}+6 x}$ ；
（4）$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ；
（5）$y=(x-1)(x+1)^{3}$ ；
（6）$y=\sqrt[3]{(2 x-a)(a-x)^{2}} \quad(a\gt 0)$ ；
（7）$y=x^{n} \mathrm{e}^{-x} \quad(n\gt 0, x \geqslant 0)$ ；
（8）$y=x+|\sin 2 x|$ ．
3-4-4
📝 有解析
第3-4-4题
4．设函数 $y=f(x)$ 在定义域内可导，$y=f(x)$ 的图形如图 3－9所示，则导函数 $f^{\prime}(x)$ 的图形为图3－10中所示的四个图形中的哪一个？
<img src="/static/img/textbook/0d7fd4c0dde7.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
<img src="/static/img/textbook/f9b1294529f6.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
3-4-5
📝 有解析
第3-4-5题
5．证明下列不等式：
（1）当 $x\gt 0$ 时， $1+\frac{1}{2} x\gt \sqrt{1+x}$ ；
（2）当 $x\gt 0$ 时， $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\gt \sqrt{1+x^{2}}$ ；
（3）当 $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时， $\sin x+\tan x\gt 2 x$ ；
（4）当 $0\lt x\lt \frac{\pi}{2}$ 时， $\tan x\gt x+\frac{1}{3} x^{3}$ ；
（5）当 $x\gt 4$ 时， $2^{x}\gt x^{2}$ ．
3-4-6
📝 有解析
第3-4-6题
6．讨论方程 $\ln x=a x$（其中 $a\gt 0$ ）有几个实根．
3-4-7
📝 有解析
第3-4-7题
7．单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面的例子：
$$
f(x)=x+\sin x
$$
3-4-8
📝 有解析
第3-4-8题
8．设 $I$ 为任一无穷区间，函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$I$ 内可导．试证明：如果 $f(x)$ 在 $I$ 的任一有限的子区间上 $f^{\prime}(x) \geqslant 0$（或 $f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ），且等号仅在有限多个点处成立，那么 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加 （或单调减少）．
3-4-9
📝 有解析
第3-4-9题
9．判定下列曲线的凹凸性：
（1）$y=4 x-x^{2}$ ；
（2）$y=\operatorname{sh} x$ ；
（3）$y=x+\frac{1}{x}(x\gt 0)$ ；
（4）$y=x \arctan x$ ．
3-4-*12
📝 有解析
第3-4-*12题
＊12．试证明曲线 $y=\frac{x-1}{x^{2}+1}$ 有三个拐点位于同一直线上．
3-4-*16
📝 有解析
第3-4-*16题
＊16．设 $y=f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 的某邻域内具有三阶连续导数，如果 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，而 $f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，试问 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是不是拐点？为什么？
3-5-1
📝 有解析
第3-5-1题
1．求下列函数的极值：
（1）$y=2 x^{3}-6 x^{2}-18 x+7$ ；
（2）$y=x-\ln (1+x)$ ；
（3）$y=-x^{4}+2 x^{2}$ ；
（4）$y=x+\sqrt{1-x}$ ；
（5）$y=\frac{1+3 x}{\sqrt{4+5 x^{2}}}$ ；
（6）$y=\frac{3 x^{2}+4 x+4}{x^{2}+x+1}$ ；
（7）$y=\mathrm{e}^{x} \cos x$ ；
（8）$y=x^{\frac{1}{x}}$ ；
（9）$y=3-2(x+1)^{\frac{1}{3}}$ ；
（10）$y=x+\tan x$ ．
3-5-10
📝 有解析
第3-5-10题
10．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20 m 长的墙壁．问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
3-5-11
📝 有解析
第3-5-11题
11．要造一圆柱形油罐，体积为 $V$ ，问底半径 $r$ 和高 $h$ 各等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
3-5-12
📝 有解析
第3-5-12题
12．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（图3－19）．截面的面积为 $5 \mathrm{~m}^{2}$ 。问底宽 $x$ 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？
3-5-13
📝 有解析
第3-5-13题
13．设有质量为 5 kg 的物体，置于水平面上，受力 $\boldsymbol{F}$ 的作用而开始移动（图3－20）．设摩擦系数 $\mu=0.25$ ，问力 $F$ 与水平线的交角 $\alpha$ 为多少时，才可使力 $F$ 的大小为最小？
<img src="/static/img/textbook/03d2e7430510.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
<img src="/static/img/textbook/358a5359954a.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
3-5-14
📝 有解析
第3-5-14题
14．有一杠杆，支点在它的一端。在距支点 0.1 m 处挂一质量为 49 kg 的物体。加力 $F$ 于杠杆的另一端使杜杆保持水平（图3－21）．如果杜杆的线密度为 $5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}$ ，求最省力的杆长．
3-5-15
📝 有解析
第3-5-15题
15．从一块半径为 $R$ 的圆铁片上剪去一个扇形做成一个漏斗（图3－22）。问留下的扇形的圆心角 $\varphi$ 取多大时，做成的漏斗的容积最大？
<img src="/static/img/textbook/fe143ae2f20d.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
<img src="/static/img/textbook/f7d9b1b1c4b9.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
3-5-16
📝 有解析
第3-5-16题
16．某吊车的车身高为 1.5 m ，吊臂长 15 m ．现在要把一个 6 m 宽、 2 m 高的屋架（图3－23（a）），水平地吊到 6 m 高的柱子上去（图3－23（ b ）），问能否吊得上去？
<img src="/static/img/textbook/cd9e0963adf8.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
3-5-17
📝 有解析
第3-5-17题
17．一房地产公司有 50 套公寓要出租．当月租金定为 4000 元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加200元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓平均每月需花费 400 元的维修费．试问房租定为多少可获得最大收人？
3-5-18
📝 有解析
第3-5-18题
18．已知制作一个背包的成本为 40 元．如果每一个背包的售出价格为 $x$ 元，售出的背包数由
$$
n=\frac{a}{x-40}+b(80-x)
$$
给出，其中 $a, b$ 为正常数．问什么样的售出价格能带来最大利润？
3-5-2
📝 有解析
第3-5-2题
2．试证明：如果函数 $y=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 满足条件 $b^{2}-3 a c\lt 0$ ，那么这个函数没有极值．
3-5-3
📝 有解析
第3-5-3题
3．试问 $a$ 为何值时，函数 $f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．
3-5-4
📝 有解析
第3-5-4题
4．设函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处有 $n$ 阶导数，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=\cdots=f^{(n-1)}\left(x_{0}\right)=0, f^{(n)}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，证明：
（1）当 $n$ 为奇数时，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 处不取得极值；
（2）当 $n$ 为偶数时，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 处取得极值，且当 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)\lt 0$ 时，$f\left(x_{0}\right)$ 为极大值，当 $f^{(n)}\left(x_{0}\right)\gt 0$时，$f\left(x_{0}\right)$ 为极小值．
3-5-5
📝 有解析
第3-5-5题
5．试利用习题 4 的结论，讨论函数 $f(x)=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}+2 \cos x$ 的极值．
3-5-6
📝 有解析
第3-5-6题
6．求下列函数的最大值、最小值；
（1）$y=2 x^{3}-3 x^{2},-1 \leqslant x \leqslant 4$ ；
（2）$y=x^{4}-8 x^{2}+2,-1 \leqslant x \leqslant 3$ ；
（3）$y=x+\sqrt{1-x},-5 \leqslant x \leqslant 1$ ．
3-5-7
📝 有解析
第3-5-7题
7．问函数 $y=2 x^{3}-6 x^{2}-18 x-7(1 \leqslant x \leqslant 4)$ 在何处取得最大值？并求出它的最大值．
3-5-8
📝 有解析
第3-5-8题
8．求下列函数在何处取得最小值或最大值：
（1）$y=x^{2}-\frac{54}{x}(x\lt 0)$ ，最小值；
（2）$y=\frac{x}{x^{2}+1}(x \geqslant 0)$ ，最大值．
3-5-9
📝 有解析
第3-5-9题
9．设函数 $f_{n}(x)=n x(1-x)^{n}(n=1,2,3, \cdots), M(n)=\max _{x \in[0,1]} f_{n}(x)$ ，试求 $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} M(n)$ ．
3-6-1
📝 有解析
第3-6-1题
1．$y=\frac{1}{5}\left(x^{4}-6 x^{2}+8 x+7\right)$ ；
3-6-2
📝 有解析
第3-6-2题
2．$y=\frac{x}{1+x^{2}}$ ；
3-6-3
📝 有解析
第3-6-3题
3．$y=\mathrm{e}^{-(x-1)^{2}}$ ；
3-6-4
📝 有解析
第3-6-4题
4．$y=x^{2}+\frac{1}{x}$ ；
3-6-5
📝 有解析
第3-6-5题
5．$y=\frac{\cos x}{\cos 2 x}$ ．
3-7-1
📝 有解析
第3-7-1题
1．求椭圆 $4 x^{2}+y^{2}=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率．
3-7-2
📝 有解析
第3-7-2题
2．求曲线 $y=\ln \sec x$ 在点 $(x, y)$ 处的曲率及曲率半径．
3-7-3
📝 有解析
第3-7-3题
3．求抛物线 $y=x^{2}-4 x+3$ 在其顶点处的曲率及曲率半径．
3-7-4
📝 有解析
第3-7-4题
4．求曲线 $x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点处的曲率．
3-7-5
📝 有解析
第3-7-5题
5．对数曲线 $y=\ln x$ 上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径．
3-7-7
📝 有解析
第3-7-7题
7．一飞机沿抛物线路径 $y=\frac{x^{2}}{10000}(y$ 轴铅直向上，单位为 m$)$ 做俯冲飞行．在坐标原点 $O$ 处飞机的速度为 $v=200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．飞行员体重 $G=70 \mathrm{~kg}$ ．求飞机俯冲至最低点即原点 $O$ 处时座椅对飞行员的反力．
3-7-8
📝 有解析
第3-7-8题
8．汽车连同载质量共 5 t ，在抛物线拱桥上行驶，速度为 $21.6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ，桥的跨度为 10 m ，拱的矢高为 0.25 m （图3－37）．求汽车越过桥顶时对桥的压力．
<img src="/static/img/textbook/fb02b792d585.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
3-7-9
📝 有解析
第3-7-9题
9．设 $R$ 为抛物线 $y=x^{2}$ 上任一点 $M(x, y)$ 处的曲率半径，$s$ 为该曲线上某一点 $M_{0}$ 到点 $M$ 的弧长，证明： $3 R \frac{\mathrm{~d}^{2} R}{\mathrm{~d} s^{2}}-\left(\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} s}\right)^{2}-9=0$ ．
3-7-*10
📝 有解析
第3-7-*10题
＊10．求曲线 $y=\tan x$ 在点 $\left(\frac{\pi}{4}, 1\right)$ 处的曲率圆方程．
3-7-*11
📝 有解析
第3-7-*11题
＊11．求抛物线 $y^{2}=2 p x$ 的渐屈线方程．
3-7-*6
📝 有解析
第3-7-*6题
＊6．证明曲线 $y=a \operatorname{ch} \frac{x}{a}$ 在点 $(x, y)$ 处的曲率半径为 $\frac{y^{2}}{a}$ ．
3-8-1
📝 有解析
第3-8-1题
1．试证明方程 $x^{3}-3 x^{2}+6 x-1=0$ 在区间 $(0,1)$ 内有唯一的实根，并用二分法求这个根的近似值，使误差不超过 0.01 ．
3-8-2
📝 有解析
第3-8-2题
2．试证明方程 $x^{5}+5 x+1=0$ 在区间 $(-1,0)$ 内有唯一的实根，并用切线法求这个根的近似值，使误差不超过 0.01 ．
3-8-3
📝 有解析
第3-8-3题
3．用割线法求方程 $x^{3}+3 x-1=0$ 的近似根，使误差不超过 0.01 ．
3-8-4
📝 有解析
第3-8-4题
4．求方程 $x \lg x=1$ 的近似根，使误差不超过 0.01 ．