第4章

1．利用求导运算验证下列等式： （1） $\displaystyle{\int} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)+C$ ； （2） $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+C$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x=\arctan x+\frac{1}{x+1}+C$ ； （4） $\displaystyle{\int} \sec x \mathrm{~d} x=\ln |\tan x+\sec x|+C$ ； （5） $\displaystyle{\int} x \cos x \mathrm{~d} x=x \sin x+\cos x+C$ ； （6） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{x}(\sin x-\cos x)+C$ ．

2．求下列不定积分： （1） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}}$ ； （2） $\displaystyle{\int} x \sqrt{x} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}$ ； （4） $\displaystyle{\int} x \sqrt[3]{x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x}}$ ； （6） $\displaystyle{\int} \sqrt[m]{x^{n}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int} 5 x^{3} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}-3 x+2\right) \mathrm{d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} h}{\sqrt{2 g h}}$（ $g$ 是常数）； （10） $\displaystyle{\int}\left(x^{2}+1\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}(\sqrt{x}+1)\left(\sqrt{x^{3}}-1\right) \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \frac{(1-x)^{2}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （13） $\displaystyle{\int}\left(2 \mathrm{e}^{x}+\frac{3}{x}\right) \mathrm{d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int}\left(\frac{3}{1+x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x}\left(1-\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} 3^{x} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ ； （17） $\displaystyle{\int} \frac{2 \cdot 3^{x}-5 \cdot 2^{x}}{3^{x}} \mathrm{~d} x$ ； （18） $\displaystyle{\int} \sec x(\sec x-\tan x) \mathrm{d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} \cos ^{2} \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\cos 2 x}$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{\cos 2 x}{\cos x-\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{\cos 2 x}{\cos ^{2} x \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int} \cot ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \cos \theta(\tan \theta+\sec \theta) \mathrm{d} \theta$ ； （25） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int} \frac{3 x^{4}+2 x^{2}}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ．

3．含有末知函数的导数的方程称为微分方程，例如方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(x)$ ，其中 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 为末知函数的导数， $f(x)$ 为已知函数．如果将函数 $y=\varphi(x)$ 代人微分方程，使微分方程成为恒等式，那么函数 $y=\varphi(x)$ 就称为该微分方程的解．求下列微分方程满足所给条件的解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(x-2)^{2},\left.\quad y\right|_{x=2}=0$ ； （2）$\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}=\frac{2}{t^{3}},\left.\quad \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=1}=1,\left.x\right|_{t=1}=1$ ．

4．汽车以 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ 的速度沿直线行驶，刹车后匀减速行驶了 50 m 停住，求刹车加速度．可执行下列步骤： （1）求微分方程 $\frac{\mathrm{d}^{2} s}{\mathrm{~d} t^{2}}=-k$ 满足条件 $\left.\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=20$ 及 $\left.s\right|_{t=0}=0$ 的解； （2）求使 $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=0$ 的 $t$ 值及相应的 $s$ 值； （3）求使 $s=50$ 的 $k$ 值．

5．一曲线通过点 $\left(\mathrm{e}^{2}, 3\right)$ ，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．

6．一物体沿直线由静止开始运动，经 $t \mathrm{~s}$ 后的速度是 $3 t^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，问 （1） 3 s 后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完 360 m 需要多少时间？

7．证明 $\arcsin (2 x-1), \arccos (1-2 x)$ 和 $2 \arctan \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ 都是 $\frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}$ 的原函数．

1．在下列各式等号右端的横线处填人适当的系数，使等式成立（例如： $\left.\mathrm{d} x=\frac{1}{4} \mathrm{~d}(4 x+7)\right)$ ： （1） $\mathrm{d} x=\_\mathrm{d}(a x)(a \neq 0)$ ； （2） $\mathrm{d} x=\_\mathrm{d}(7 x-3)$ ； （3）$x \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(x^{2}\right)$ ； （4）$x \mathrm{~d} x=\ldots \mathrm{d}\left(5 x^{2}\right)$ ； （5）$x \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(1-x^{2}\right)$ ； （6）$x^{3} \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(3 x^{4}-2\right)$ ； （7） $\mathrm{e}^{2 x} \mathrm{~d} x=-\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{2 x}\right)$ ； （8） $\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(1+\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}\right)$ ； （9） $\sin \frac{3}{2} x \mathrm{~d} x=\_\mathrm{d}\left(\cos \frac{3}{2} x\right)$ ； （10）$\frac{\mathrm{d} x}{x}=\_\mathrm{d}(5 \ln |x|)$ ； （11）$\frac{\mathrm{d} x}{x}=\ldots \mathrm{d}(3-5 \ln |x|)$ ； （12）$\frac{\mathrm{d} x}{1+9 x^{2}}=-\mathrm{d}(\arctan 3 x)$ ； （13）$\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\mathrm{d}(1-\arcsin x)$ ； （14）$\frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\mathrm{d}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)$ ．

2．求下列不定积分（其中 $a, b, \omega, \varphi$ 均为常数）： （1） $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{5 t} \mathrm{~d} t$ ； （2） $\displaystyle{\int}(3-2 x)^{3} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1-2 x}$ ； （4） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{2-3 x}}$ ； （5） $\displaystyle{\int}\left(\sin a x-\mathrm{e}^{\frac{x}{b}}\right) \mathrm{d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int} \frac{\sin \sqrt{t}}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ； （7） $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int} x \cos \left(x^{2}\right) \mathrm{d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int} \frac{x}{\sqrt{2-3 x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int} \frac{3 x^{3}}{1-x^{4}} \mathrm{~d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int} \frac{x+1}{x^{2}+2 x+5} \mathrm{~d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int} \cos ^{2}(\omega t+\varphi) \sin (\omega t+\varphi) \mathrm{d} t$ ； （13） $\displaystyle{\int} \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ； （14） $\displaystyle{\int} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt[3]{\sin x-\cos x}} \mathrm{~d} x$ ； （15） $\displaystyle{\int} \tan ^{10} x \cdot \sec ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （16） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x \ln \ln x}$ ； （17） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{(\arcsin x)^{2} \sqrt{1-x^{2}}}$ ； （18） $\displaystyle{\int} \frac{10^{2 \arccos x}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle{\int} \tan \sqrt{1+x^{2}} \cdot \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ； （20） $\displaystyle{\int} \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ； （21） $\displaystyle{\int} \frac{1+\ln x}{(x \ln x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sin x \cos x}$ ； （23） $\displaystyle{\int} \frac{\ln \tan x}{\cos x \sin x} \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int} \cos ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （25） $\displaystyle{\int} \cos ^{2}(\omega t+\varphi) \mathrm{d} t$ ； （26） $\displaystyle{\int} \sin 2 x \cos 3 x \mathrm{~d} x$ ； （27） $\displaystyle{\int} \cos x \cos \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ； （28） $\displaystyle{\int} \sin 5 x \sin 7 x \mathrm{~d} x$ ； （29） $\displaystyle{\int} \tan ^{3} x \sec x \mathrm{~d} x$ ； （30） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$ ； （31） $\displaystyle{\int} \frac{1-x}{\sqrt{9-4 x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （32） $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}}{9+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （33） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{2 x^{2}-1}$ ； （34） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{(x+1)(x-2)}$ ； （35） $\displaystyle{\int} \frac{x}{x^{2}-x-2} \mathrm{~d} x$ ； （36） $\displaystyle{\int} \frac{x^{2} \mathrm{~d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}(a\gt 0)$ ； （37） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{2}-1}}$ ； （38） $\displaystyle{\int} \frac{d x}{\sqrt{\left(x^{2}+1\right)^{3}}}$ ； （39） $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x} \mathrm{~d} x$ ； （40） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt{2 x}}$ ； （41） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （42） $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x+\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （43） $\displaystyle{\int} \frac{x-1}{x^{2}+2 x+3} \mathrm{~d} x$ ； （44） $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

1． $\displaystyle{\int} x \sin x \mathrm{~d} x$ ．

10． $\displaystyle{\int} x \tan ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．

11． $\displaystyle{\int} x^{2} \cos x \mathrm{~d} x$ ，

12． $\displaystyle{\int} t \mathrm{e}^{-2 t} \mathrm{~d} t$ ．

13． $\displaystyle{\int} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．

14． $\displaystyle{\int} x \sin x \cos x \mathrm{~d} x$ ．

15． $\displaystyle{\int} x^{2} \cos ^{2} \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ．

16． $\displaystyle{\int} x \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．

17． $\displaystyle{\int}\left(x^{2}-1\right) \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ．

18． $\displaystyle{\int} \frac{\ln ^{3} x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

19． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ．

2． $\displaystyle{\int} \ln x \mathrm{~d} x$ ．

20． $\displaystyle{\int} \cos \ln x \mathrm{~d} x$ ．

21． $\displaystyle{\int}(\arcsin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．

22． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．

23． $\displaystyle{\int} x \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．

24． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{\sqrt{3 x+9}} \mathrm{~d} x$ ．

3． $\displaystyle{\int} \arcsin x \mathrm{~d} x$ ．

4． $\displaystyle{\int} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．

5． $\displaystyle{\int} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x$ ．

6． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．

7． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-2 x} \sin \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ．

8． $\displaystyle{\int} x \cos \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ．

9． $\displaystyle{\int} x^{2} \arctan x \mathrm{~d} x$ ．

1． $\displaystyle{\int} \frac{x^{3}}{x+3} \mathrm{~d} x$ ．

10． $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{4}-1} \mathrm{~d} x$ ．

11． $\displaystyle{\int} \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}$ ．

12． $\displaystyle{\int} \frac{(x+1)^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

13． $\displaystyle{\int} \frac{-x^{2}-2}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

14． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{3+\sin ^{2} x}$ ．

15． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{3+\cos x}$ ．

16． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{2+\sin x}$ ．

17． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x+\cos x}$ ．

18． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{2 \sin x-\cos x+5}$ ．

19． $\displaystyle{\int} \frac{d x}{1+\sqrt[3]{x+1}}$ ．

2． $\displaystyle{\int} \frac{2 x+3}{x^{2}+3 x-10} \mathrm{~d} x$ ．

20． $\displaystyle{\int} \frac{(\sqrt{x})^{3}-1}{\sqrt{x}+1} \mathrm{~d} x$ ．

21． $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} \mathrm{~d} x$ ．

22． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}$ ．

23． $\displaystyle{\int} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \frac{\mathrm{~d} x}{x}$ ．

24． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt[3]{(x+1)^{2}(x-1)^{4}}}$ ．

3． $\displaystyle{\int} \frac{x+1}{x^{2}-2 x+5} \mathrm{~d} x$ ．

4． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}+1\right)}$ ．

5． $\displaystyle{\int} \frac{3}{x^{3}+1} \mathrm{~d} x$ ．

6． $\displaystyle{\int} \frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}(x-1)} \mathrm{d} x$ ．

7． $\displaystyle{\int} \frac{x \mathrm{~d} x}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ ．

8． $\displaystyle{\int} \frac{x^{5}+x^{4}-8}{x^{3}-x} \mathrm{~d} x$ ．

9． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+x\right)}$ ．

1． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{4 x^{2}-9}}$ ．

10． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{-2 x} \sin 3 x \mathrm{~d} x$ ．

11． $\displaystyle{\int} \sin 3 x \sin 5 x \mathrm{~d} x$ ．

12． $\displaystyle{\int} \ln ^{3} x \mathrm{~d} x$ ．

13． $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}(1-x)} \mathrm{d} x$ ．

14． $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x-1}}{x} \mathrm{~d} x$ ．

15． $\displaystyle{\int} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

16． $\displaystyle{\int} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．

17． $\displaystyle{\int} \frac{x}{(2+3 x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

18． $\displaystyle{\int} \cos ^{6} x \mathrm{~d} x$ ．

19． $\displaystyle{\int} x^{2} \sqrt{x^{2}-2} \mathrm{~d} x$ ．

2． $\displaystyle{\int} \frac{1}{x^{2}+2 x+5} \mathrm{~d} x$ ．

20． $\displaystyle{\int} \frac{1}{2+5 \cos x} \mathrm{~d} x$ ．

21． $\displaystyle{\int} \frac{d x}{x^{2} \sqrt{2 x-1}}$ ．

22． $\displaystyle{\int} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ．

23． $\displaystyle{\int} \frac{x+5}{x^{2}-2 x-1} \mathrm{~d} x$ ．

24． $\displaystyle{\int} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1+x-x^{2}}}$ ．

25． $\displaystyle{\int} \frac{x^{4}}{25+4 x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

3． $\displaystyle{\int} \frac{d x}{\sqrt{5-4 x+x^{2}}}$ ．

4． $\displaystyle{\int} \sqrt{2 x^{2}+9} \mathrm{~d} x$ ．

5． $\displaystyle{\int} \sqrt{3 x^{2}-2} \mathrm{~d} x$ ．

6． $\displaystyle{\int} \mathrm{e}^{2 x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．

7． $\displaystyle{\int} x \arcsin \frac{x}{2} \mathrm{~d} x$ ．

8． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^{2}+9\right)^{2}}$ ．

9． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^{3} x}$ ．