第5章

10．估计下列各积分的值： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{4}\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4} \pi}\left(1+\sin ^{2} x\right) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} x \arctan x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{2}^{0} \mathrm{e}^{x^{2}-x} \mathrm{~d} x$ ．

11．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x \geqslant\left[\displaystyle{\int}_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right]^{2}$ ．

12．设 $f(x)$ 及 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明： （1）若在 $[a, b]$ 上，$f(x) \geqslant 0$ ，且 $f(x) \not \equiv 0$ ，则 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\gt 0$ ； （2）若在 $[a, b]$ 上，$f(x) \geqslant 0$ ，且 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则在 $[a, b]$ 上 $f(x) \equiv 0$ ； （3）若在 $[a, b]$ 上，$f(x) \leqslant g(x)$ ，且 $\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ ，则在 $[a, b]$ 上 $f(x) \equiv g(x)$ ．

13．根据定积分的性质及第 12 题的结论，说明下列各对积分中哪一个的值较大： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x$ 还是 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x$ ？ （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} x^{2} \mathrm{~d} x$ 还是 $\displaystyle{\int}_{1}^{2} x^{3} \mathrm{~d} x$ ？ （3） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \ln x \mathrm{~d} x$ 还是 $\displaystyle{\int}_{1}^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ ？ （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \mathrm{~d} x$ 还是 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \ln (1+x) \mathrm{d} x$ ？ （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 还是 $\displaystyle{\int}_{0}^{1}(1+x) \mathrm{d} x$ ？ \s

3．利用定积分的几何意义，证明下列等式： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} 2 x \mathrm{~d} x=1$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{4}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x=0$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \mathrm{~d} x=2 \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \mathrm{~d} x$ ．

4．利用定积分的几何意义，求下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{t} x \mathrm{~d} x(t\gt 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-1}^{2}|x| \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

5．设 $a\lt b$ ，问 $a, b$ 取什么值时，积分 $\displaystyle{\int}_{a}^{b}\left(x-x^{2}\right) \mathrm{d} x$ 取得最大值？

6．试从定积分的几何意义，说明以下等式成立： $$ \displaystyle{\int}_{1}^{e} \ln x \mathrm{~d} x+\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e} $$

7．已知 $\ln 2=\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ ，试用抛物线法公式（1－6），求出 $\ln 2$ 的近似值（取 $n=10$ ，计算时取 4位小数）．

8．设 $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} 3 f(x) \mathrm{d} x=18, \displaystyle{\int}_{-1}^{3} f(x) \mathrm{d} x=4, \displaystyle{\int}_{-1}^{3} g(x) \mathrm{d} x=3$ ．求： （1） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{3}^{-1} g(x) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} \frac{1}{5}[4 f(x)+3 g(x)] \mathrm{d} x$ ．

9．证明定积分的性质： （1） $\displaystyle{\int}_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$（ $k$ 是常数）； （2） $\displaystyle{\int}_{a}^{b} 1 \cdot \mathrm{~d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} x=b-a$ ．

＊1．利用定积分的定义计算由抛物线 $y=x^{2}+1$ 、两直线 $x=a 、 x=b(b\gt a)$ 及 $x$ 轴所围成的图形的面积．

＊2．利用定积分的定义计算下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{a}^{b} x \mathrm{~d} x(a\lt b)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ ．

1．试求函数 $y=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin t \mathrm{~d} t$ 当 $x=0$ 及 $x=\frac{\pi}{4}$ 时的导数．

10．设 $k \in \mathbf{N}_{+}$．试证下列各题： （1） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \mathrm{~d} x=0$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin k x \mathrm{~d} x=0$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2} k x \mathrm{~d} x=\pi$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin ^{2} k x \mathrm{~d} x=\pi$ ．

11．设 $k, l \in \mathbf{N}_{+}$，且 $k \neq l$ ．证明： （1） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \sin l x \mathrm{~d} x=0$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \cos l x \mathrm{~d} x=0$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin k x \sin l x \mathrm{~d} x=0$ ．

12．求下列极限： （1） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos t^{2} d t}{x}$ ； （2） $\displaystyle{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\displaystyle{\int}_{0}^{x} e^{t^{2}} d t\right)^{2}}{\displaystyle{\int}_{0}^{x} t e^{2 t^{2}} d t}$ ．

13．设 $$ f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \in[0,1), \\ x, & x \in[1,2] .\end{cases} $$ 求 $\Phi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[0,2]$ 上的表达式，并讨论 $\Phi(x)$ 在 $(0,2)$ 内的连续性．

14．设 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} \sin x, & 0 \leqslant x \leqslant \pi, \\ 0, & x\lt 0 \text { 或 } x\gt \pi .\end{cases} $$ 求 $\Phi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的表达式．

15．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导且 $f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ， $$ F(x)=\frac{1}{x-a} \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t $$ 证明在 $(a, b)$ 内有 $F^{\prime}(x) \leqslant 0$ ．

16．以下积分上限的函数： $$ S(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin \frac{\pi t^{2}}{2} \mathrm{~d} t, \quad x \in(-\infty,+\infty) $$ 称为菲涅耳（Fresnel）积分，在光学中有重要应用． （1）证明：$S(x)$ 为奇函数； （2）求出 $S(x)$ 的极小值点．

17．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内连续，且 $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ．证明函数 $$ y=\mathrm{e}^{-x} \displaystyle{\int}_{0}^{x} \mathrm{e}^{t} f(t) \mathrm{d} t $$ 满足方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=f(x)$ ，并求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$ ．

2．求由参数表达式 $x=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \sin u \mathrm{~d} u, y=\displaystyle{\int}_{0}^{t} \cos u \mathrm{~d} u$ 所确定的函数对 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

3．求由 $\displaystyle{\int}_{0}^{y} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t+\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos t \mathrm{~d} t=0$ 所确定的隐函数对 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

4．当 $x$ 为何值时，函数 $I(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 有极值？

5．计算下列各导数： （1）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{0}^{x^{2}} \sqrt{1+t^{2}} \mathrm{~d} t$ ； （2）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{x^{2}}^{x^{3}} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1+t^{4}}}$ ； （3）$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \displaystyle{\int}_{\sin x}^{\cos x} \cos \left(\pi t^{2}\right) \mathrm{d} t$ ．

6．证明 $f(x)=\displaystyle{\int}_{1}^{x} \sqrt{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ 在 $[-1,+\infty)$ 上是单调增加函数，并求 $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(0)$ ．

7．设 $f(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{*}\left(\displaystyle{\int}_{\sin t}^{1} \sqrt{1+u^{4}} \mathrm{~d} u\right) \mathrm{d} t$ ，求 $f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)$ ．

8．设 $f(x)$ 具有三阶连续导数，$y=f(x)$ 的图形如图 5－8所示。问下列积分中的哪一个积分值为负？ （A） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f(x) \mathrm{d} x$ （B） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ （C） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x$ （D） $\displaystyle{\int}_{-1}^{3} f^{\prime \prime \prime}(x) \mathrm{d} x$ <img src="/static/img/textbook/d7f0b535cd07.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

9．计算下列各定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{a}\left(3 x^{2}-x+1\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{2}\left(x^{2}+\frac{1}{x^{4}}\right) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{4}^{9} \sqrt{x}(1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{\mathrm{~d} x}{1+x^{2}}$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{3} a} \frac{\mathrm{~d} x}{a^{2}+x^{2}}$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{4-x^{2}}}$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{-1}^{0} \frac{3 x^{4}+3 x^{2}+1}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{-e-1}^{-2} \frac{d x}{1+x}$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{2} \theta \mathrm{~d} \theta$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $f(x)= \begin{cases}x+1, & x \leqslant 1, \\ \frac{1}{2} x^{2}, & x\gt 1 .\end{cases}$

1．计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \mathrm{d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-2}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{(11+5 x)^{3}}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \varphi \cos ^{3} \varphi \mathrm{~d} \varphi$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi}\left(1-\sin ^{3} \theta\right) \mathrm{d} \theta$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} u \mathrm{~d} u$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{2-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \sqrt{8-2 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x(a\gt 0)$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{1}^{\sqrt{3}} \frac{\mathrm{~d} x}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}}$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{-1}^{1} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{5-4 x}}$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{1}^{4} \frac{\mathrm{~d} x}{1+\sqrt{x}}$ ； （13） $\displaystyle{\int}_{\frac{3}{4}}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x}-1}$ ； （14） $\displaystyle{\int}_{0}^{\sqrt{2} a} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{3 a^{2}-x^{2}}}(a\gt 0)$ ； （15） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} t \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t$ ； （16） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{x \sqrt{1+\ln x}}$ ； （17） $\displaystyle{\int}_{-2}^{0} \frac{(x+2) \mathrm{d} x}{x^{2}+2 x+2}$ ； （18） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{x \mathrm{~d} x}{\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}}$ ； （19） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} x^{4} \sin x \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4 \cos ^{4} \theta \mathrm{~d} \theta$ ； （21） $\displaystyle{\int}_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{(\arcsin x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle{\int}_{-5}^{5} \frac{x^{3} \sin ^{2} x}{x^{4}+2 x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cos 2 x \mathrm{~d} x$ ； （24） $\displaystyle{\int}_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos x-\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ； （25） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （26） $\displaystyle{\int}_{0}^{2 \pi}|\sin (x+1)| d x$ ．

2．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，证明： $$ \displaystyle{\int}_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{a}^{b} f(a+b-x) \mathrm{d} x $$

3．证明： $\displaystyle{\int}_{x}^{1} \frac{\mathrm{~d} t}{1+t^{2}}=\displaystyle{\int}_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\mathrm{~d} t}{1+t^{2}}(x\gt 0)$ ．

4．证明： $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x=\displaystyle{\int}_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m} \mathrm{~d} x \quad(m, n \in \mathbf{N})$ ．

5．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$n \in \mathbf{Z}$ ，证明： $$ \displaystyle{\int}_{\frac{n}{2} \pi}^{\frac{n+1}{2} \pi} f(|\sin x|) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{\frac{n}{2} \pi}^{\frac{n+1}{2} \pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x $$

6．若 $f(t)$ 是连续的奇函数，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是偶函数；若 $f(t)$ 是连续的偶函数，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是奇函数．

7．设 $x=\varphi(y)$ 是单调函数 $y=x \mathrm{e}^{x^{2}}$ 的反函数，求 $\displaystyle{\int}_{0}^{\mathrm{e}} \varphi(y) \mathrm{d} y$ ．

8．计算下列定积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{e} x \ln x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{2 \pi}{\omega}} t \sin \omega t \mathrm{~d} t$（ $\omega$ 为常数）； （4） $\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} x \arctan x \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{2 x} \cos x \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} x \log _{2} x \mathrm{~d} x$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi}(x \sin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{1}^{e} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ ； （11） $\displaystyle{\int}_{\frac{1}{\mathrm{e}}}^{\mathrm{e}}|\ln x| \mathrm{d} x$ ； （12） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{m}{2}} \mathrm{~d} x\left(m \in \mathbf{N}_{+}\right)$； （13）$J_{m}=\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} x \sin ^{m} x \mathrm{~d} x\left(m \in \mathbf{N}_{+}\right)$．

1．判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值： （1） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{4}}$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x(a\gt 0)$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{d x}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)}$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-p t} \sin \omega t \mathrm{~d} t \quad(p\gt 0, \omega\gt 0)$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+2 x+2}$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{0}^{2} \frac{\mathrm{~d} x}{(1-x)^{2}}$ ； （9） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{x-1}}$ ； （10） $\displaystyle{\int}_{1}^{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}}$ ．

2．求由曲线 $y=\frac{1}{4 x^{2}-1} 、 x$ 轴和直线 $x=1$ 所围成的向右无限延伸的图形的面积．

3．当 $k$ 为何值时，反常积分 $\displaystyle{\int}_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{k}}$ 收敛？当 $k$ 为何值时，该反常积分发散？又当 $k$ 为何值时，该反常积分取得最小值？

4．利用递推公式计算反常积分 $I_{n}=\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x(n \in \mathbf{N})$ ．

5．计算反常积分 $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ ．

1．判定下列反常积分的收敛性： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt[3]{x^{2}+1}}$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \sin \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x|\sin x|}$ ； （5） $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{x \arctan x}{1+x^{3}} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{\mathrm{~d} x}{(\ln x)^{3}}$ ； （7） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x^{4}}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\displaystyle{\int}_{1}^{2} \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2}-3 x+2}}$ ．

2．设反常积分 $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明反常积分 $\displaystyle{\int}_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛．

3．用 $\Gamma$ 函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x(n\gt 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(\ln \frac{1}{x}\right)^{p} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x^{m} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x(n \neq 0)$ ．

4．证明 $\Gamma\left(\frac{2 k+1}{2}\right)=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 k-1) \sqrt{\pi}}{2^{k}}$ ，其中 $k \in \mathbf{N}_{+}$．

5．证明以下各式（其中 $n \in \mathbf{N}_{+}$）： （1） $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2 n=2^{n} \Gamma(n+1)$ ； （2） $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)=\frac{\Gamma(2 n)}{2^{n-1} \Gamma(n)}$ ； （3）$\sqrt{\pi} \Gamma(2 n)=2^{2 n-1} \Gamma(n) \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)$（勒让德（Legendre）倍量公式）．