第6章
6-2-1
📝 有解析
第6-2-1题
1．求图 6－20 中各阴影部分的面积．
<img src="/static/img/textbook/2ac5df4de19c.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
6-2-10
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第6-2-10题
10．求位于曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 下方、该曲线过原点的切线的左方以及 $x$ 轴上方之间的图形的面积．
6-2-11
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第6-2-11题
11．在区间 $[1, \mathrm{e}]$ 上求一点 $\xi$ ，使得图 6－21 中所示的阴影部分的面积最小．
6-2-12
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第6-2-12题
12．已知抛物线 $y=p x^{2}+q x$（其中 $p\lt 0, q\gt 0$ ）在第一象限内与直线 $x+y=5$ 相切，且此拋物线与 $x$轴所围成的图形的面积为 $A$ ．问 $p$ 和 $q$ 为何值时，$A$ 达到最大值，并求出此最大值．
6-2-13
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第6-2-13题
13．由 $y=x^{3}, x=2, y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴及 $y$ 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积．
6-2-14
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第6-2-14题
14．把星形线 $x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=a^{2 / 3}$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转（图6－22），计算所得旋转体的体积．
6-2-15
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第6-2-15题
15．用积分方法证明图 6－23 中球缺的体积为
$$
V=\pi H^{2}\left(R-\frac{H}{3}\right) .
$$
<img src="/static/img/textbook/d8f659777d5f.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
<img src="/static/img/textbook/2e6851581e9b.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
<img src="/static/img/textbook/f1511f66bea4.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
6-2-16
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第6-2-16题
16．求下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积：
（1）$y=x^{2}, x=y^{2}$ ，绕 $y$ 轴；
（2）$y=\arcsin x, x=1, y=0$ ，绕 $x$ 轴；
（3）$x^{2}+(y-5)^{2}=16$ ，绕 $x$ 轴；
（4）摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 的一拱，$y=0$ ，绕直线 $y=2 a$ ．
6-2-17
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第6-2-17题
17．求圆盘 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}$ 绕 $x=-b(b\gt a\gt 0)$ 旋转所成旋转体的体积．
6-2-18
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第6-2-18题
18．设有一截锥体，其高为 $h$ ，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为 $2 a, 2 b$ 和 $2 A, 2 B$ ，求这截锥体的体积．
6-2-19
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第6-2-19题
19．计算底面是半径为 $R$ 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积（图6－24）。
6-2-2
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第6-2-2题
2．求由下列各组曲线所围成的图形的面积：
（1）$y=\frac{1}{2} x^{2} 与 x^{2}+y^{2}=8$（两部分都要计算）；
（2）$y=\frac{1}{x}$ 与直线 $y=x$ 及 $x=2$ ；
（3）$y=\mathrm{e}^{x}, y=\mathrm{e}^{-x}$ 与直线 $x=1$ ；
（4）$y=\ln x, y$ 轴与直线 $y=\ln a, y=\ln b(b\gt a\gt 0)$ ．
6-2-20
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第6-2-20题
20．证明：由平面图形 $0 \leqslant a \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant y \leqslant f(x)$ 绕 $y$ 轴旋转所成的旋转体的体积为
$$
V=2 \pi \displaystyle{\int}_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x
$$
6-2-21
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第6-2-21题
21．利用题 20 的结论和方法，计算曲线 $y=\sin x(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 和 $x$ 轴所围成的图形按下列方式所得旋转体的体积：
（1）绕 $y$ 轴旋转；
（2）绕直线 $x=-\pi$ 旋转．
6-2-22
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第6-2-22题
22．设由抛物线 $y=2 x^{2}$ 和直线 $x=a, x=2$ 及 $y=0$ 所围成的平面图形为 $D_{1}$ ，由抛物线 $y=2 x^{2}$ 和直线 $x=a$ 及 $y=0$ 所围成的平面图形为 $D_{2}$ ，其中 $0\lt a\lt 2$（图6－25）．
（1）试求 $D_{1}$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积 $V_{1}, D_{2}$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积 $V_{2}$ ；
（2）问当 $a$ 为何值时，$V_{1}+V_{2}$ 取得最大值？试求此最大值．
6-2-23
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第6-2-23题
23．计算曲线 $y=\ln x$ 上相应于 $\sqrt{3} \leqslant x \leqslant 2 \sqrt{2}$ 的一段弧的长度．
<img src="/static/img/textbook/4dbc4b460542.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
<img src="/static/img/textbook/519627e522a4.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
6-2-24
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第6-2-24题
24．计算半立方抛物线 $y^{2}=\frac{2}{3}(x-1)^{3}$ 被抛物线 $y^{2}=\frac{x}{3}$ 截得的一段弧的长度．
6-2-25
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第6-2-25题
25．计算抛物线 $y^{2}=2 p x(p\gt 0)$ 从顶点到这曲线上的一点 $M(x, y)$ 的弧长．
6-2-26
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第6-2-26题
26．计算星形线 $x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$（图6－26）的全长．
6-2-27
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第6-2-27题
27．将绕在圆（半径为 $a$ ）上的细线放开拉直，使细线与圆周始终相切（图 6－27），细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线，它的方程为
$$
x=a(\cos t+t \sin t), y=a(\sin t-t \cos t) .
$$
计算该曲线上相应于 $0 \leqslant t \leqslant \pi$ 的一段弧的长度．
<img src="/static/img/textbook/74b49723f877.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
<img src="/static/img/textbook/ee012d77532e.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">
6-2-28
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第6-2-28题
28．在摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 上求分摆线第一拱成 $1: 3$ 的点的坐标．
6-2-29
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第6-2-29题
29．求对数螺线 $\rho=\mathrm{e}^{a \theta}$ 相应于 $0 \leqslant \theta \leqslant \varphi$ 的一段弧长．
6-2-3
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第6-2-3题
3．求抛物线 $y=-x^{2}+4 x-3$ 及其在点 $(0,-3)$ 和 $(3,0)$ 处的切线所围成的图形的面积．
6-2-30
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第6-2-30题
30．求曲线 $\rho \theta=1$ 相应于 $\frac{3}{4} \leqslant \theta \leqslant \frac{4}{3}$ 的一段弧长．
6-2-4
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第6-2-4题
4．求抛物线 $y^{2}=2 p x$ 及其在点 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处的法线所围成的图形的面积．
6-2-5
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第6-2-5题
5．试求 $a, b$ 的值，使得由曲线 $y=\cos x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与两坐标轴所围成的图形的面积被曲线 $y=a \sin x$ 与 $y=b \sin x$ 三等分．
6-2-6
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第6-2-6题
6．求由下列各曲线所围成的图形的面积：
（1）$\rho=2 a \cos \theta$ ；
（2）$x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$ ；
（3）$\rho=2 a(2+\cos \theta)$ ．
6-2-7
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第6-2-7题
7．求由摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 的一拱 $(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与横轴所围成的图形的面积．
6-2-8
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第6-2-8题
8．求对数螺线 $\rho=a \mathrm{e}^{\theta}(-\pi \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 及射线 $\theta=\pi$ 所围成的图形的面积．
6-2-9
📝 有解析
第6-2-9题
9．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：
（1）$\rho=3 \cos \theta$ 及 $\rho=1+\cos \theta$ ；
（2）$\rho=\sqrt{2} \sin \theta$ 及 $\rho^{2}=\cos 2 \theta$ ．
6-3-1
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第6-3-1题
1．由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力 $F$（单位： N ）与伸长量 $s$（单位： cm ）成正比，即
$$
F=k s \quad(k \text { 是弹性系数 }) \text {. }
$$
如果把弹簧由原长拉伸 6 cm ，计算所做的功．
6-3-10
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第6-3-10题
10．设有一长度为 $l$ 、线密度为 $\mu$ 的均匀细直棒，在与棒的一端垂直距离为 $a$ 单位处有一质量为
$m$ 的质点 $M$ ，试求这细棒对质点 $M$ 的引力．
6-3-11
📝 有解析
第6-3-11题
11．设有一半径为 $R$ 、圆心角为 $\varphi$ 的圆弧形细棒，其线密度为常数 $\mu$ ．在圆心处有一质量为 $m$ 的质点 $M$ ．试求这细棒对质点 $M$ 的引力．
6-3-2
📝 有解析
第6-3-2题
2．直径为 20 cm 、高为 80 cm 的圆筒内充满压强为 $10 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}^{2}$ 的蒸汽．设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要做多少功？
6-3-3
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第6-3-3题
3．（1）证明：把质量为 $m$ 的物体从地球表面升高到 $h$ 处所做的功是
$$
W=\frac{m g R h}{R+h},
$$
其中 $g$ 是重力加速度，$R$ 是地球的半径；
（2）一颗人造地球卫星的质量为 173 kg ，在高于地面 630 km 处进人轨道．问把这颗卫星从地面送到 630 km 的高空处，克服地球引力要做多少功？已知 $g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ ，地球半径 $R=6370 \mathrm{~km}$ ．
6-3-4
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第6-3-4题
4．一物体按规律 $x=c t^{3}$ 做直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比．计算物体由 $x=0$ 移至 $x=a$ 时，克服介质阻力所做的功．
6-3-5
📝 有解析
第6-3-5题
5．用铁锤将一铁钉击人木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉被击人木板的深度成正比，在锤击第一次时，将铁钉击人木板 1 cm 。如果铁锤每次锤击铁钉所做的功相等，问锤击第二次时，铁钉又被击人木板多少？
6-3-6
📝 有解析
第6-3-6题
6．设一圆锥形贮水池，深 15 m ，口径 20 m ，盛满水，今以泉将水吸尽，问要做多少功？
6-3-7
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第6-3-7题
7．有一铅直放置的矩形闸门，它的顶端与水面相平，一条对角线将闸门分成两个三角形区域。试证：其中一个三角形区域上所受的水压力是另一个三角形区域上所受水压力的 2 倍．
6-3-8
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第6-3-8题
8．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长 10 m 和 6 m ，高为 20 m 。较长的底边与水面相齐．计算闸门的一侧所受的水压力．
6-3-9
📝 有解析
第6-3-9题
9．一底为 8 cm 、高为 6 cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面 3 cm ，试求它每面所受的压力．