第7章

1．试说出下列各微分方程的阶数： （1）$x\left(y^{\prime}\right)^{2}-2 y y^{\prime}+x=0$ ； （2）$x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ ； （3）$x y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+x^{2} y=0$ ； （4）$(7 x-6 y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y=0$ ； （5）$L \frac{\mathrm{~d}^{2} Q}{\mathrm{~d} t^{2}}+R \frac{\mathrm{~d} Q}{\mathrm{~d} t}+\frac{Q}{C}=0$ ； （6）$\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}+\rho=\sin ^{2} \theta$ ．

2．指出下列各题中的函数是不是所给微分方程的解： （1）$x y^{\prime}=2 y, y=5 x^{2}$ ； （2）$y^{\prime \prime}+y=0, y=3 \sin x-4 \cos x$ ； （3）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0, y=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ； （4）$y^{\prime \prime}-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) y^{\prime}+\lambda_{1} \lambda_{2} y=0, y=C_{1} \mathrm{e}^{\lambda_{1} x}+C_{2} \mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ ．

3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： （1）$(x-2 y) y^{\prime}=2 x-y, x^{2}-x y+y^{2}=C$ ； （2）$(x y-x) y^{\prime \prime}+x y^{\prime 2}+y y^{\prime}-2 y^{\prime}=0, y=\ln (x y)$ ．

4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件： （1）$x^{2}-y^{2}=C,\left.y\right|_{x=0}=5$ ； （2）$y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{2 x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （3）$y=C_{1} \sin \left(x-C_{2}\right),\left.y\right|_{x=\pi}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=0$ ．

5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： （1）曲线在点 $(x, y)$ 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方； （2）曲线上点 $P(x, y)$ 处的法线与 $x$ 轴的交点为 $Q$ ，且线段 $P Q$ 被 $y$ 轴平分； （3）曲线上点 $P(x, y)$ 处的切线与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，线段 $P Q$ 的长度为 $a$ ，且曲线通过点 $(a, 0)$ ．

6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的压强 $p$ 对于温度 $T$ 的变化率与压强成正比，与温度的平方成反比．

7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积 $A$ 成正比，比例系数 $k\gt 0$ ．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为 $r_{0}$ 的雪堆在开始融化的 3 h 内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少时间？

1．求下列微分方程组的通解： （1）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=z, \\ \frac{\mathrm{~d} z}{\mathrm{~d} x}=y ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}=y, \\ \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}=x ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=-x+y+3 \\ \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=x+y-3\end{array}\right.$ ， （4）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}+5 x+y=\mathrm{e}^{t} \\ \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}-x-3 y=\mathrm{e}^{2 t}\end{array}\right.$ ； （5）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}+2 x+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+y=t, \\ 5 x+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+3 y=t^{2} ;\end{array}\right.$ （6）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}-3 x+2 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}+4 y=2 \sin t \\ 2 \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}+2 x+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}-y=\cos t .\end{array}\right.$

2．求下列微分方程组满足所给初值条件的特解： （1）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=y,\left.x\right|_{t=0}=0, \\ \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}=-x,\left.y\right|_{t=0}=1 ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}+2 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}-x=0,\left.x\right|_{t=0}=1, \\ \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}+y=0,\left.y\right|_{t=0}=0 ;\end{array}\right.$ （3）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}+3 x-y=0,\left.x\right|_{t=0}=1, \\ \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}-8 x+y=0,\left.y\right|_{t=0}=4 ;\end{array}\right.$ （4）$\left\{\begin{array}{l}2 \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}-4 x+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}-y=\mathrm{e}^{t},\left.x\right|_{t=0}=\frac{3}{2}, \\ \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}+3 x+y=0,\left.y\right|_{t=0}=0 ;\end{array}\right.$ （5）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}+2 x-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=10 \cos t,\left.x\right|_{t=0}=2, \\ \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+2 y=4 \mathrm{e}^{-2 t},\left.y\right|_{t=0}=0 ;\end{array}\right.$ （6）$\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}-x+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+3 y=\mathrm{e}^{-t}-1,\left.x\right|_{t=0}=\frac{48}{49}, \\ \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}+2 x+\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+y=\mathrm{e}^{2 t}+t,\left.y\right|_{t=0}=\frac{95}{98} .\end{array}\right.$

1．求下列微分方程的通解： （1）$x y^{\prime}-y \ln y=0$ ； （2） $3 x^{2}+5 x-5 y^{\prime}=0$ ； （3）$\sqrt{1-x^{2}} y^{\prime}=\sqrt{1-y^{2}}$ ； （4）$y^{\prime}-x y^{\prime}=a\left(y^{2}+y^{\prime}\right)$ ； （5） $\sec ^{2} x \tan y \mathrm{~d} x+\sec ^{2} y \tan x \mathrm{~d} y=0$ ； （6）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=10^{x+y}$ ； （7）$\left(\mathrm{e}^{x+y}-\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x+y}+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y=0$ ； （8） $\cos x \sin y \mathrm{~d} x+\sin x \cos y \mathrm{~d} y=0$ ； （9）$(y+1)^{2} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+x^{3}=0$ ； （10）$y \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-4 x\right) \mathrm{d} y=0$ ．

2．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x-y},\left.y\right|_{x=0}=0$ ； （2） $\cos x \sin y \mathrm{~d} y=\cos y \sin x \mathrm{~d} x,\left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4}$ ； （3）$y^{\prime} \sin x=y \ln y,\left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=\mathrm{e}$ ； （4） $\cos y \mathrm{~d} x+\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \sin y \mathrm{~d} y=0,\left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4}$ ； （5）$x \mathrm{~d} y+2 y \mathrm{~d} x=0,\left.y\right|_{x=2}=1$ ； （6）$\frac{1}{\rho} \frac{\mathrm{~d} \rho}{\mathrm{~d} \theta}+\frac{\rho^{2}+1}{\rho^{2}-1} \cot \theta=0,\left.\rho\right|_{\theta=\frac{\pi}{6}}=3$ ； （7）$x^{2}\left(1+y^{\prime 2}\right)=a^{2},\left.y\right|_{x=a}=0$ ，其中 $a\gt 0$ ．

3．有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为 10 cm ，顶角为 $60^{\circ}$ ，漏斗下面有面积为 $0.5 \mathrm{~cm}^{2}$ 的孔，求水面高度变化的规律及水流完所需的时间．

4．质量为 1 g 的质点受外力作用做直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比．在 $t=10 \mathrm{~s}$ 时，速度等于 $50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，外力为 $4 \mathrm{~g} \cdot \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}$ ，问从运动开始经过了 1 min 后的速度是多少？

5．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量 $R$ 成正比．由经验材料得知，镭经过 1600 年后，只余原始量 $R_{0}$ 的一半．试求镭的现存量 $R$ 与时间 $t$ 的函数关系．

6．一曲线通过点 $(2,3)$ ，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程．

7．小船从河边点 $O$ 处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为 $a$ ，小船航行的方向始终与河岸垂直，又设河宽为 $h$ ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为 $k)$ ．求小船的航行路线．

1．求下列齐次方程的通解： （1）$x y^{\prime}-y-\sqrt{y^{2}-x^{2}}=0$ ； （2）$x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=y \ln \frac{y}{x}$ ； （3）$\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x-x y \mathrm{~d} y=0$ ； （4）$\left(x^{3}+y^{3}\right) \mathrm{d} x-3 x y^{2} \mathrm{~d} y=0$ ； （5）$\left(2 x \sin \frac{y}{x}+3 y \cos \frac{y}{x}\right) \mathrm{d} x-3 x \cos \frac{y}{x} \mathrm{~d} y=0$ ； （6）$\left(1+2 \mathrm{e}^{x / y}\right) \mathrm{d} x+2 \mathrm{e}^{x / y}\left(1-\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} y=0$ ．

2．求下列齐次方程满足所给初值条件的特解： （1）$\left(y^{2}-3 x^{2}\right) \mathrm{d} y+2 x y \mathrm{~d} x=0,\left.y\right|_{x=0}=1$ ； （2）$y^{\prime}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x},\left.y\right|_{x=1}=2$ ； （3）$\left(x^{2}+2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}+2 x y-x^{2}\right) \mathrm{d} y=0,\left.y\right|_{x=1}=1$ ； （4）$x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=y+x \sec \frac{y}{x},\left.y\right|_{x=1}=\frac{\pi}{4}$ ．

3．设有连接点 $O(0,0)$ 和 $A(1,1)$ 的一段向上凸的曲线弧 $\overparen{O A}$ ，对于 $\overparen{O A}$ 上任一点 $P(x, y)$ ，曲线弧 $\overparen{O P}$ 与直线段 $\overline{O P}$ 所围图形的面积为 $x^{2}$ ，求曲线弧 $\overparen{O A}$ 的方程．

＊4．化下列方程为齐次方程，并求出通解： （1）$(2 x-5 y+3) \mathrm{d} x-(2 x+4 y-6) \mathrm{d} y=0$ ； （2）$(x-y-1) \mathrm{d} x+(4 y+x-1) \mathrm{d} y=0$ ； （3）$(3 y-7 x+7) \mathrm{d} x+(7 y-3 x+3) \mathrm{d} y=0$ ； （4）$(x+y) \mathrm{d} x+(3 x+3 y-4) \mathrm{d} y=0$ ．

1．求下列微分方程的通解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=\mathrm{e}^{-x}$ ； （2）$x y^{\prime}+y=x^{2}+3 x+2$ ； （3）$y^{\prime}+y \cos x=\mathrm{e}^{-\mathrm{sin} x}$ ； （4）$y^{\prime}+y \tan x=\sin 2 x$ ； （5）$\left(x^{2}-1\right) y^{\prime}+2 x y-\cos x=0$ ； （6）$\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}+3 \rho=2$ ； （7）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 x y=4 x$ ； （8）$y \ln y \mathrm{~d} x+(x-\ln y) \mathrm{d} y=0$ ； （9）$(x-2) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=y+2(x-2)^{3}$ ； （10）$\left(y^{2}-6 x\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0$ ．

2．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y \tan x=\sec x,\left.y\right|_{x=0}=0$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x},\left.y\right|_{x=\pi}=1$ ； （3）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y \cot x=5 \mathrm{e}^{\cos x},\left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4$ ； （4）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+3 y=8,\left.y\right|_{x=0}=2$ ； （5）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{2-3 x^{2}}{x^{3}} y=1,\left.y\right|_{x=1}=0$ ； （6）$x\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+y=1+x^{2},\left.y\right|_{x=1}=0$ ．

3．若曲线通过原点，并且它在点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于 $2 x+y$ ，求这曲线的方程．

4．设有一质量为 $m$ 的质点做直线运动。从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为 $k_{1}$ ）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为 $k_{2}$ ）的阻力作用．求质点运动的速度与时间的函数关系．

5．设有一个由电阻 $R=10 \Omega$ 、电感 $L=2 \mathrm{H}$ 和电源电压 $E=20 \sin 5 t \mathrm{~V}$ 串联组成的电路．开关 S 合上后，电路中有电流通过．求电流 $i$ 与时间 $t$ 的函数关系．

6．验证形如 $y f(x y) \mathrm{d} x+x g(x y) \mathrm{d} y=0$ 的微分方程可经变量代换 $v=x y$ 化为可分离变量的方程，并求其通解。

7．用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(x+y)^{2}$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{x-y}+1$ ； （3）$x y^{\prime}+y=y(\ln x+\ln y)$ ； （4）$y^{\prime}=y^{2}+2(\sin x-1) y+\sin ^{2} x-2 \sin x-\cos x+1$ ； （5）$y(x y+1) \mathrm{d} x+x\left(1+x y+x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$ ． ${ }^{*} 8$ ．求下列伯努利方程的通解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=y^{2}(\cos x-\sin x)$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-3 x y=x y^{2}$ ； （3）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{1}{3} y=\frac{1}{3}(1-2 x) y^{4}$ ； （4）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y=x y^{5}$ ； （5）$x \mathrm{~d} y-\left[y+x y^{3}(1+\ln x)\right] \mathrm{d} x=0$ ．

1．求下列各微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}=x+\sin x$ ； （2）$y^{\prime \prime \prime}=x \mathrm{e}^{x}$ ； （3）$y^{\prime \prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （4）$y^{\prime \prime}=1+y^{\prime 2}$ ； （5）$y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x$ ； （6）$x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0$ ； （7）$y y^{\prime \prime}+2 y^{\prime 2}=0$ ； （8）$y^{3} y^{\prime \prime}-1=0$ ； （9）$y^{\prime \prime}=\frac{1}{\sqrt{y}}$ ； （10）$y^{\prime \prime}=y^{\prime 3}+y^{\prime}$ ．

2．设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，满足： $$ f^{\prime 2}(x)=f(x)+\displaystyle{\int}_{0}^{x}\left[f^{\prime}(t)\right]^{3} \mathrm{~d} t $$ 且 $f^{\prime}(0)=1$ ，求 $f(x)$ ．

3．求下列各微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$y^{3} y^{\prime \prime}+1=0,\left.y\right|_{x=1}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=0$ ； （2）$y^{\prime \prime}-a y^{\prime 2}=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-1$ ； （3）$y^{\prime \prime \prime}=\mathrm{e}^{a x},\left.y\right|_{x=1}=\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=1}=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{2 y},\left.y\right|_{x=0}=\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ； （5）$y^{\prime \prime}=3 \sqrt{y},\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （6）$y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=1,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ．

4．试求 $y^{\prime \prime}=x$ 的经过点 $M(0,1)$ 且在此点与直线 $y=\frac{x}{2}+1$ 相切的积分曲线．

5．设有一质量为 $m$ 的物体在空中由静止开始下落，如果空气阻力 $R=c v$（其中 $c$ 为常数，$v$ 为物体运动的速度），试求物体下落的距离 $s$ 与时间 $t$ 的函数关系．

1．下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？ （1）$x, x^{2}$ ； （2）$x, 2 x$ ； （3） $\mathrm{e}^{2 x}, 3 \mathrm{e}^{2 x}$ ， （4） $\mathrm{e}^{-x}, \mathrm{e}^{x}$ ； （5） $\cos 2 x, \sin 2 x$ ； （6） $\mathrm{e}^{x^{2}}, x \mathrm{e}^{x^{2}}$ ； （7） $\sin 2 x, \cos x \sin x$ ； （8） $\mathrm{e}^{x} \cos 2 x, \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ； （9） $\ln x, x \ln x$ ； （10） $\mathrm{e}^{a x}, \mathrm{e}^{b x}(a \neq b)$ ．

2．验证 $y_{1}=\cos \omega x$ 及 $y_{2}=\sin \omega x$ 都是方程 $y^{\prime \prime}+\omega^{2} y=0$ 的解，并写出该方程的通解．

3．验证 $y_{1}=\mathrm{e}^{x^{2}}$ 及 $y_{2}=x \mathrm{e}^{x^{2}}$ 都是方程 $y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+\left(4 x^{2}-2\right) y=0$ 的解，并写出该方程的通解．

4．验证： （1）$y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{2 x}+\frac{1}{12} \mathrm{e}^{5 x}$（ $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数）是方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{5 x}$ 的通解； （2）$y=C_{1} \cos 3 x+C_{2} \sin 3 x+\frac{1}{32}(4 x \cos x+\sin x) \quad\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 是任意常数）是方程 $y^{\prime \prime}+9 y=x \cos x$ 的通解； （3）$y=C_{1} x^{2}+C_{2} x^{2} \ln x$（ $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数）是方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0$ 的通解； （4）$y=C_{1} x^{5}+\frac{C_{2}}{x}-\frac{x^{2}}{9} \ln x\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 是任意常数）是方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}-5 y=x^{2} \ln x$ 的通解； （5）$y=\frac{1}{x}\left(C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}\right)+\frac{\mathrm{e}^{x}}{2}\left(C_{1}, C_{2}\right.$ 是任意常数）是方程 $x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-x y=\mathrm{e}^{x}$ 的通解； （6）$y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}+C_{3} \cos x+C_{4} \sin x-x^{2}$（ $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ 是任意常数）是方程 $y^{(4)}-y=x^{2}$ 的通解．

＊5．已知 $y_{1}(x)=\mathrm{e}^{x}$ 是齐次线性方程 $$ (2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0 $$ 的一个解，求此方程的通解．

＊6．已知 $y_{1}(x)=x$ 是齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0$ 的一个解，求非齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+$ $2 y=2 x^{3}$ 的通解．

＊7．已知齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解为 $Y(x)=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x$ ，求非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+y=\sec x$的通解．

＊8．已知齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ 的通解为 $Y(x)=C_{1} x+C_{2} x \ln |x|$ ，求非齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}- x y^{\prime}+y=x$ 的通解．

1．下题中给出了四个结论，从中选一个正确的结论： 在下列微分方程中，以 $y=C_{1} \mathrm{e}^{-x}+C_{2} \cos x+C_{3} \sin x\left(C_{1}, C_{2}, C_{3}\right.$ 为任意常数）为通解的常系数齐次线性微分方程是 ）． （A）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0$ （C）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ （D）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$

2．求下列微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ ； （2）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=0$ ； （3）$y^{\prime \prime}+y=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+13 y=0$ ； （5） $4 \frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}-20 \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}+25 x=0$ ； （6）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+5 y=0$ ； （7）$y^{(4)}-y=0$ ； （8）$y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=0$ ； （9）$y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=0$ ； （10）$y^{(4)}+5 y^{\prime \prime}-36 y=0$ ．

3．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0,\left.y\right|_{x=0}=6,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=10$ ； （2） $4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ； （3）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-5$ ； （4）$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=15$ ； （5）$y^{\prime \prime}+25 y=0,\left.y\right|_{x=0}=2,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=5$ ； （6）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=3$ ．

4．一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在原点 $O$ 处且速度为 $v_{0}$ ，在运动过程中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点到原点的距离成正比 （比例系数 $k_{1}\gt 0$ ）而方向与初速度一致。又介质的阻力与速度成正比（比例系数 $k_{2}\gt 0$ ）．求反映这质点的运动规律的函数．

5．在图7－13所示的电路中先将开关 S 拨向 $A$ ，达到稳定状态后再将开关 S 拨向 $B$ ，求电压 $u_{C}(t)$ 及电流 $i(t)$ 。已知 $E= 20 \mathrm{~V}, C=0.5 \times 10^{-6} \mathrm{~F}, L=0.1 \mathrm{H}, R=2000 \Omega$ ．

6．设圆柱形浮筒的底面直径为 0.5 m ，将它铅直放在水中， <img src="/static/img/textbook/feda593760d5.jpg" style="max-width:100%;height:auto;"> 当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为 2 s ，求浮筒的质量．

1．求下列各微分方程的通解： （1） $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \mathrm{e}^{x}$ ； （2）$y^{\prime \prime}+a^{2} y=\mathrm{e}^{x}$ ； （3） $2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=5 x^{2}-2 x-1$ ； （4）$y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$ ； （5）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ； （6）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=(x+1) \mathrm{e}^{3 x}$ ； （7）$y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+4 y=3-2 x$ ； （8）$y^{\prime \prime}+4 y=x \cos x$ ； （9）$y^{\prime \prime}+y=\mathrm{e}^{x}+\cos x$ ； （10）$y^{\prime \prime}-y=\sin ^{2} x$ ．

2．求下列各微分方程满足已给初值条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}+y+\sin 2 x=0,\left.y\right|_{x=\pi}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=1$ ； （2）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=5,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （3）$y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{2 x},\left.y\right|_{x=0}=\frac{6}{7},\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{33}{7}$ ； （4）$y^{\prime \prime}-y=4 x \mathrm{e}^{x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （5）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=5,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ．

3．已知二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+m y^{\prime}+n y=0$ 的通解为 $y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}$ ，求 $m, n$ 的值，并求非齐次方程 $y^{\prime \prime}+m y^{\prime}+n y=x$ 满足初值条件 $y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$ 的特解．

4．大炮以仰角 $\alpha$ 、初速度 $v_{0}$ 发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线．

5．在 $R L C$ 含源串联电路中，电动势为 $E$ 的电源对电容器 $C$ 充电．已知 $E=20 \mathrm{~V}, C=0.2 \mu \mathrm{~F}, L= 0.1 \mathrm{H}, R=1000 \Omega$ ，试求合上开关 S 后的电流 $i(t)$ 及电压 $u_{C}(t)$ ．

6．设函数 $\varphi(x)$ 连续，且满足 $$ \varphi(x)=\mathrm{e}^{x}+\displaystyle{\int}_{0}^{x} t \varphi(t) \mathrm{d} t-x \displaystyle{\int}_{0}^{x} \varphi(t) \mathrm{d} t, $$ 求 $\varphi(x)$ ．

1．$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-y=0$ ．

2．$y^{\prime \prime}-\frac{y^{\prime}}{x}+\frac{y}{x^{2}}=\frac{2}{x}$ ．

3．$x^{3} y^{\prime \prime \prime}+3 x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0$ ．

4．$x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=\ln ^{2} x-2 \ln x$ ．

5．$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=x^{3}$ ．

6．$x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+4 y=x \sin (\ln x)$ ．

7．$x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=x+x^{2} \ln x$ ．

8．$x^{3} y^{\prime \prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=x^{2} \ln x+3 x$ ．