习题1-1

1．求下列函数的自然定义域： （1）$y=\sqrt{3 x+2}$ ； （2）$y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ； （3）$y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^{2}}$ ； （4）$y=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$ ； （5）$y=\sin \sqrt{x}$ ； （6）$y=\tan (x+1)$ ； （7）$y=\arcsin (x-3)$ ； （8）$y=\sqrt{3-x}+\arctan \frac{1}{x}$ ； （9）$y=\ln (x+1)$ ； （10）$y=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ ．

10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）$y=\cos (x-2)$ ； （2）$y=\cos 4 x$ ； （3）$y=1+\sin \pi x$ ； （4）$y=x \cos x$ ； （5）$y=\sin ^{2} x$ ．

11．求下列函数的反函数： （1）$y=\sqrt[3]{x+1}$ ； （2）$y=\frac{1-x}{1+x}$ ； （3）$y=\frac{a x+b}{c x+d}(a d-b c \neq 0)$ ； （4）$y=2 \sin 3 x\left(-\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$ ； （5）$y=1+\ln (x+2)$ ； （6）$y=\frac{2^{x}}{2^{x}+1}$ ．

12．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求该函数分别对应于给定自变量值 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的函数值： （1）$y=u^{2}, u=\sin x, x_{1}=\frac{\pi}{6}, x_{2}=\frac{\pi}{3}$ ； （2）$y=\sin u, u=2 x, x_{1}=\frac{\pi}{8}, x_{2}=\frac{\pi}{4}$ ； （3）$y=\sqrt{u}, u=1+x^{2}, x_{1}=1, x_{2}=2$ ； （4）$y=\mathrm{e}^{u}, u=x^{2}, x_{1}=0, x_{2}=1$ ； （5）$y=u^{2}, u=\mathrm{e}^{x}, x_{1}=1, x_{2}=-1$ ．

13．设 $f(x)$ 的定义域 $D=[0,1]$ ，求下列各函数的定义域： （1）$f\left(x^{2}\right)$ ； （2）$f(\sin x)$ ； （3）$f(x+a)(a\gt 0)$ ； （4）$f(x+a)+f(x-a)(a\gt 0)$ ．

14．设 $$ f(x)= \begin{cases}1, & |x|\lt 1 \\ 0, & |x|=1, \quad g(x)=\mathrm{e}^{x} \\ -1, & |x|\gt 1\end{cases} $$ 求 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ ，并作出这两个函数的图形．

15．已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 $\varphi=40^{\circ}$（图1－20）．当过水断面 $A B C D$ 的面积为定值 $S_{0}$时，求湿周 $L(L=A B+B C+C D)$ 与水深 $h$ 之间的函数关系式，并指明其定义域． <img src="/static/img/textbook/64930cde82b2.jpg" style="max-width:100%;height:auto;">

16．设 $x O y$ 平面上有正方形 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 及直线 $l: x+y=t(t \geqslant 0)$ ．若 $S(t)$ 表示正方形 $D$ 位于直线 $l$ 左下方部分的面积，试求 $S(t)$ 与 $t$ 之间的函数关系．

17．求联系华氏温度（用 $F$ 表示）和摄氏温度（用 $C$ 表示）的转换公式，并求 （1） $90{ }^{\circ} \mathrm{F}$ 的等价摄氏温度和 $-5{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的等价华氏温度； （2）是否存在一个温度值，使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的？如果存在，那么该温度值是多少？

18．已知 Rt $\triangle A B C$ 中，直角边 $A C, B C$ 的长度分别为 20,15 ，动点 $P$ 从 $C$ 出发，沿三角形边界按 $C \rightarrow B \rightarrow A$ 方向移动；动点 $Q$ 从 $C$ 出发，沿三角形边界按 $C \rightarrow A \rightarrow B$ 方向移动，移动到两动点相遇时为止，且点 $Q$ 移动的速度是点 $P$ 移动的速度的 2 倍．设动点 $P$ 移动的距离为 $x, \triangle C P Q$ 的面积为 $y$ ，试求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系．

2．下列各题中，函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是否相同？为什么？ （1）$f(x)=\lg x^{2}, g(x)=2 \lg x$ ； （2）$f(x)=x, g(x)=\sqrt{x^{2}}$ ； （3）$f(x)=\sqrt[3]{x^{4}-x^{3}}, g(x)=x \sqrt[3]{x-1}$ ； （4）$f(x)=1, g(x)=\sec ^{2} x-\tan ^{2} x$ ．

3．设 $$ \varphi(x)=\left\{\begin{array}{cl} |\sin x|, & |x|\lt \frac{\pi}{3}, \\ 0, & |x| \geqslant \frac{\pi}{3}, \end{array}\right. $$ 求 $\varphi\left(\frac{\pi}{6}\right), \varphi\left(\frac{\pi}{4}\right), \varphi\left(-\frac{\pi}{4}\right), \varphi(-2)$ ，并作出函数 $y=\varphi(x)$ 的图形．

4．讨论下列函数的有界性： （1）$f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$ ； （2）$f(x)=\frac{1+x^{2}}{1+x^{4}}$ ．

5．试证下列函数在指定区间内的单调性： （1）$y=\frac{x}{1-x},(-\infty, 1)$ ； （2）$y=x+\ln x,(0,+\infty)$ ．

6．讨论下列函数的单调性： （1）$f(x)=a x^{2}+b x+c$ ，其中 $a, b, c \in \mathbf{R}, a \neq 0$ ； （2）$f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}$ ，其中 $a, b, c, d \in \mathbf{R}, c\gt 0$ ．

7．设 $f(x)$ 为定义在 $(-l, l)$ 内的奇函数，若 $f(x)$ 在 $(0, l)$ 内单调增加，证明 $f(x)$ 在 $(-l, 0)$ 内也单调增加．

8．设下面所考虑的函数都是定义在区间 $(-l, l)$ 上的．证明： （1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数； （2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数．

9．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？ （1）$y=x^{2}\left(1-x^{2}\right)$ ； （2）$y=3 x^{2}-x^{3}$ ； （3）$y=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ ； （4）$y=x(x-1)(x+1)$ ； （5）$y=\sin x-\cos x+1$ ； （6）$y=\frac{a^{x}+a^{-x}}{2}(a\gt 0, a \neq 1)$ ．